EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
T{x}=x²: ¿es lineal? Sí o no.
- PISTA 1
Una pista
Compara T{2x} con 2T{x}.
Un desarrollo posible.
La linealidad exige homogeneidad: T{2x}=2T{x}.
Si T{x}=x², entonces T{2x}=(2x)²=4x², mientras que 2T{x}=2x².
Con una entrada x=1 se obtienen cuatro y dos, distintos. La respuesta es no.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
T{x}=3x: ¿es lineal? Sí o no.
- PISTA 1
Una pista
Distribuye sobre una combinación.
Un desarrollo posible.
Tomamos entradas arbitrarias x₁,x₂ y escalas α,β.
T{αx₁+βx₂}=3(αx₁+βx₂)=α(3x₁)+β(3x₂).
La expresión es αT{x₁}+βT{x₂} para todas ellas; por tanto sí es lineal.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
T{x}=x+4: ¿es lineal? Sí o no.
- PISTA 1
Una pista
Prueba entrada cero.
Un desarrollo posible.
Todo operador lineal debe transformar entrada cero en salida cero.
Para T{x}=x+4, aplicar entrada cero produce T{0}=4.
Como cuatro no es cero, basta ese contraejemplo para responder no.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
En T{x}[n]=5x[n], ¿cuál es h[0]?
- PISTA 1
Una pista
La entrada δ[0]=1.
Un desarrollo posible.
Por definición, h[n] es la salida cuando la entrada es δ[n].
La regla dada produce h[n]=5δ[n].
En el origen δ[0]=1, así que h[0]=5·1=5.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Prueba que T{x}[n]=x[n]+x[n−1] es LTI.
- PISTA 1
Una pista
Haz ambas comprobaciones por separado.
Un desarrollo posible.
Para z=αx₁+βx₂, T{z}[n]=z[n]+z[n−1]=α(x₁[n]+x₁[n−1])+β(x₂[n]+x₂[n−1]); esto prueba linealidad.
Retrasar la entrada un entero k produce x[n−k]+x[n−k−1].
La salida original retrasada también es y[n−k]=x[n−k]+x[n−k−1]; al coincidir para todo k hay invariancia temporal y el sistema es LTI.