Sistemas lineales invariantes en el tiempo

La regla puede ser algebraica o dinámica, pero debe decir qué entradas admite y qué memoria inicial usa. Aquí las pruebas se hacen para señales y desplazamientos permitidos por el dominio; no se comparan salidas que el sistema no tenga definidas.

Para una ecuación diferencial, una respuesta libre de estado inicial fijo no nulo añade un término independiente de la entrada. El mapa de entrada a salida puede ser afín aunque la ecuación sea lineal en estado y entrada. La representación habitual mediante respuesta impulsional describe la respuesta de estado cero con las condiciones de existencia correspondientes.

T es lineal si T{αx₁+βx₂}=αT{x₁}+βT{x₂} para entradas y escalares arbitrarios permitidos. Esto reúne aditividad y homogeneidad. La demostración usa una combinación general; varios valores numéricos no prueban por sí solos una identidad universal.

Una condición necesaria es T{0}=0, pero no suficiente: el cuadrado también la cumple y falla la homogeneidad. Para refutar basta un contraejemplo; para demostrar hay que conservar la generalidad o un argumento equivalente. En operaciones infinitas también se comprueba convergencia.

La regla y=3x pasa por el origen y distribuye suma y escala. y=x+4 dibuja una recta, pero añade una salida fija cuatro: es afín y no lineal como operador. El contexto de sistemas usa la definición de superposición, no solo que el dibujo escalar sea recto.

Una no linealidad puede ser instantánea y no depender de un reloj. Para refutar superposición escogemos una entrada y un escalar sencillos que hagan visible el fallo. No basta que una regla tenga T{0}=0 para llamarla lineal.

Con y=T{x}, comparamos T{x(t−a)}(t) con y(t−a) para toda entrada y desplazamiento permitido. En secuencias, el retraso es entero k. En la primera ruta se desplaza la entrada; en la segunda se desplaza toda la salida, incluidos factores explícitos de tiempo.

Si las rutas coinciden siempre, el sistema es invariante. Para una regla con factor t, no se sustituye t−a solo dentro de x y se olvida ese factor al retrasar la salida completa. Esa diferencia suele explicar por qué una operación lineal puede cambiar con el tiempo.

LTI significa cumplir las dos pruebas. Un retraso con ganancia constante es LTI. Un multiplicador n puede ser lineal y variante; el cuadrado puede ser no lineal e invariante. Ninguna propiedad decide la otra.

La invariancia exige todos los desplazamientos permitidos, no solo uno que encaje con una periodicidad del reloj. Del mismo modo, una combinación de entradas que pase una comprobación numérica no prueba todas las combinaciones posibles.

δ[n] vale uno en cero y cero fuera. δ[n−k] sitúa esa muestra en k.

En cada índice solo sobrevive el término de su posición. Si h=T{δ}, invariancia da T{δ[n−k]}=h[n−k] y linealidad permite sumar las copias.

Para soporte finito no hay intercambio problemático de sumas infinitas. Extender el argumento a secuencias infinitas exige convergencia y continuidad del operador o un marco equivalente; linealidad sobre sumas finitas por sí sola no basta.

El impulso de Dirac es una distribución, no una función de altura infinita que se multiplique como un número. Para un sistema de convolución continuo representable, y(t)=∫h(v)x(t−v)dv cuando la operación está definida. Con h ordinaria en L¹ y x acotada, hay convergencia absoluta y una cota directa.

Si hay una ganancia instantánea d, la respuesta impulsional contiene dδ y la salida se escribe dx(t)+∫h_regular(v)x(t−v)dv. Los derivadores ideales y otras distribuciones necesitan otro marco. El origen de la entrada y su prehistoria importan al fijar límites efectivos.

Causal significa que la salida presente depende solo de entrada presente o pasada. En un sistema LTI con representación por convolución, equivale a h[k]=0 para k<0 en discreto o soporte no negativo en continuo. No confundir un índice pasado desconocido del registro con un índice futuro.

Un LTI sin memoria tiene h=cδ y produce cx en cada instante. Un retraso necesita otra muestra y tiene memoria. Un adelanto fijo sigue distribuyendo combinaciones y desplazamientos, pero pide una entrada futura y no es causal.

Para un operador de convolución discreto habitual, BIBO equivale a Σ|h[k]|<∞.

En continuo se usa la integral absoluta de la parte regular y se añade el paso directo finito. Una condición se aplica dentro del marco donde el sistema y su dominio están definidos.

Una entrada acotada con salida no acotada basta para refutar BIBO. La causalidad y la superposición no impiden acumulación. Una suma con signos puede converger por cancelación y no ofrecer una cota para todas las entradas, que podrían deshacer esa cancelación.

Dos LTI en paralelo suman respuestas impulsionales. En cascada las convolucionan, bajo hipótesis que permitan asociar las operaciones. La conmutatividad conserva el mapa ideal de convolución, pero no iguala necesariamente estados internos, límites o saturaciones de dos implementaciones físicas.

Para una entrada exp(iΩn), si la suma correspondiente converge, la salida es la misma exponencial por H(Ω)=Σh[k]exp(−iΩk). Esa ganancia tiene módulo y fase. Con h finita la operación está justificada para todo Ω real; con colas generales se revisa convergencia. La descripción temporal y la frecuencial son dos lecturas del mismo operador representado.