Señales continuas, discretas y secuencias

x(t) usa un tiempo real t; x[n] usa un índice entero n. Los corchetes recuerdan que una secuencia no incluye por defecto índices como 1/2. Podemos tomar muestras de una función continua en tiempo, por ejemplo guardar un dato cada medio segundo. El contador de muestra y el tiempo físico son dos columnas distintas.

Una señal puede ser real, compleja o vectorial. Aquí empezaremos con valores reales. Algunas secuencias se definen en todos los enteros y otras solo desde cero. Un bloque finito de datos no dice qué había antes o después; una extensión por cero debe declararse, no adivinarse.

Tiempo continuo describe el dominio de instantes. Continuidad matemática describe cómo se aproximan los valores al acercarse a un punto. Un escalón puede tener valor para cada tiempo real y aun saltar de cero a uno. Son dos usos distintos de la palabra continuo.

Tiempo discreto tampoco obliga a amplitudes enteras o redondeadas. Una secuencia puede contener √2, π o fracciones exactas. Discretizar el tiempo y discretizar niveles de amplitud son operaciones independientes. Unir muestras con una línea de dibujo no añade puntos al dominio de la secuencia.

Con muestreo uniforme, la muestra n se toma en t_n=nT, donde T>0 es duración entre muestras. La frecuencia de muestreo es fₛ=1/T. n cuenta y no tiene unidades de segundo; nT sí. Una muestra de índice tres no tiene por qué ocurrir en el segundo tres.

Un retraso de k muestras dura kT si k es entero. Para traducir una duración a índices dividimos por T; si no sale un entero, un desplazamiento entero de secuencia no la representa exactamente. Habría que definir un procedimiento adicional, no consultar una muestra fraccionaria inexistente.

La regla x[n]=x(nT) selecciona valores de una señal en instantes concretos. No redondea por sí sola las amplitudes. Para cada n calculamos nT y después aplicamos la función. Solo si T=1 y las unidades son compatibles coincidiría con evaluar directamente x(n).

Infinitas funciones pueden coincidir en la rejilla y diferir entre muestras. Reconstrucción única requiere hipótesis adicionales, como banda limitada y muestreo apropiado. Una línea que pasa por todos los puntos es una interpolación elegida; no demuestra que la señal original tuviera esa forma.

Un cuantizador uniforme de paso q>0 redondea al múltiplo de q más cercano. Sin saturación, el error absoluto es como máximo q/2. Los empates entre dos niveles requieren una regla; aquí, cuando haga falta, elegiremos el nivel cuyo índice entero sea par. Otra regla coherente debe declararse.

Saturar limita el rango de niveles permitidos y puede romper la cota q/2. Muestrear cambia los instantes conservados; cuantizar cambia sus valores. Una señal digital suele hacer ambas cosas, pero aumentar fₛ no añade automáticamente más niveles de amplitud.

Evaluar y exige calcular primero el argumento y después consultar x. Un signo dentro del argumento no se interpreta mirando solo el dibujo.

x(−t) y x[−n] reflejan alrededor del origen. En x[a−t] hay reflexión y desplazamiento: si un rasgo estaba en k, se busca la entrada que satisface a−t=k. Resolver esa ecuación conserva posiciones y amplitudes sin confundir el orden de operaciones.

bx(t) multiplica alturas. x(at), para a>1, comprime posiciones temporales: un rasgo en t₀ aparece en t₀/a. Un a negativo añade reflexión. En un argumento combinado se resuelve la desigualdad o ecuación que describe el rasgo, conservando el cambio de sentido al dividir por un número negativo.

En secuencias no todo argumento es entero. x[2n] selecciona índices pares. x[n/2] solo consulta un índice entero cuando n es par; para crear una secuencia completa hay que especificar los demás valores, por ejemplo insertar ceros. No es lo mismo que interpolar libremente.

En continuo pedimos una duración P>0 con x(t+P)=x(t) para todo t. En discreto pedimos un entero N>0 con x[n+N]=x[n] para todo n. Encontrar dos valores iguales no demuestra periodicidad. Una constante continua tiene cualquier P>0 como periodo y no uno positivo mínimo; una constante discreta tiene periodo fundamental uno.

Para cos(Ωn) de fase cero, la periodicidad exige ΩN=2πm para algún entero m. Existe N si Ω/(2π) es racional. Al reducir esa razón a una fracción, su denominador da el periodo fundamental. La necesidad se ve ya en n=0: cos(ΩN)=1 obliga una vuelta entera.

Al muestrear cos(2πft) resulta cos(Ωn), con Ω=2πfT=2πf/fₛ en radianes por muestra. Añadir 2πm a Ω no cambia ninguna muestra, porque añade 2πmn a la fase. Las frecuencias continuas separadas por fₛ pueden quedar indistinguibles en esa rejilla: aliasing.

Esto identifica muestras, no las funciones continuas originales. Además el coseno es par, de modo que frecuencias opuestas con fase cero coinciden. Para senos y fases distintas se conservan sus signos y fases: no se generaliza una igualdad de cosenos borrando esa información.

Una tabla guarda n, t_n y x[n] en columnas distintas. También conviene registrar intervalo de muestreo, unidades, rango y regla de cuantización si se usaron. Las amplitudes solas describen un bloque, pero no su escala física de tiempo o frecuencia.

Antes de operar identificamos qué cambia: dominio temporal, índice, amplitud o nivel permitido. Estas distinciones preparan sistemas y transformadas. No se prueba periodicidad de una señal desconocida solo porque un registro corto parezca repetir una forma.