En y=1−e^(−4t), ¿cuál es la constante de tiempo?
Escribe e^(−t/τ).
La constante de tiempo se define comparando el exponente con −t/τ.
Por tanto τ=0,25 unidades de tiempo, las mismas usadas para t.
Respuesta libre x=6e^(−2t): ¿valor inicial?
Pon t=0.
Para y′+5y=10 con respuesta estable, ¿valor de equilibrio?
Anula la derivada.
En un equilibrio la derivada de y vale cero.
El coeficiente positivo cinco hace que las desviaciones decaigan como e^(−5t).
¿Qué porcentaje aproximado del valor final alcanza 1−e^(−t/τ) en t=τ? Usa 63,2 con tolerancia 0,1 %.
Calcula 100(1−e⁻¹).
Multiplicamos por cien para expresarla como porcentaje: aproximadamente 63,212 %, que se redondea a 63,2 %.
Separa respuesta libre y forzada de x′=Ax+Bu.
Observa cuál depende de x₀ y cuál de u.
La respuesta libre resuelve x′=Ax sin entrada y conserva el estado inicial: e^(At)x₀.
La respuesta forzada de estado cero es la integral de e^(A(t−v))Bu(v) desde v=0 hasta v=t.
Sumar ambas cumple la ecuación por linealidad y deja x(0)=x₀, pues la integral en un intervalo de longitud cero vale cero.