Respuesta temporal de sistemas lineales

En x′=Ax+Bu, el estado inicial x(0) y la entrada futura u seleccionan una trayectoria. Una ecuación de segundo orden necesita dos datos, aunque observemos una sola salida. El origen temporal debe indicarse: decir que una entrada empieza en t=1 no es lo mismo que aplicarla desde cero.

Con entrada ordinaria localmente integrable, el estado de esta EDO es continuo; un escalón puede cambiar su derivada, pero no lo hace saltar. La salida sí puede saltar por Du. Un impulso ideal pertenece a otro marco y puede producir un salto de estado.

La matriz exp(At) se define por I+At+(At)²/2!+…; en cero vale I y su derivada es Aexp(At). No se obtiene exponenciando por separado cada casilla de A. La identidad inicial y la ecuación son dos controles inmediatos.

Si A es diagonal, cada componente contiene su exponencial escalar. Con una base de autovectores podemos hacer esa lectura por modos. Un bloque de Jordan añade factores como t exp(λt). Para partes reales negativas esos factores acaban decayendo, aunque alguna componente pueda aumentar durante un intervalo antes de bajar.

El primer término es respuesta libre; el segundo, respuesta de estado cero. Se obtiene derivando exp(−At)x(t), integrando y volviendo a multiplicar por exp(At). Con entrada localmente integrable, la solución se interpreta de modo absolutamente continuo y satisface la ecuación casi en todas partes.

Cada aportación de la entrada en v se propaga durante el tiempo restante t−v. El límite superior t impide usar entradas futuras. La salida total se obtiene aplicando C al estado y añadiendo Du. Una respuesta real puede contener a la vez parte libre y parte forzada; no hay que escoger solo una.

El escalón unitario mantiene una entrada constante desde el origen; la rampa crece con el tiempo. El impulso δ concentra área uno en sentido distribucional, no una altura finita durante duración cero. Para un sistema causal estrictamente propio, la parte regular de la respuesta impulsional es h(t)=Cexp(At)B para t≥0.

La salida de estado cero es su convolución causal con la entrada.

La respuesta al escalón es la integral de h. Si D≠0, la respuesta impulsional incluye además Dδ(t), y la salida ordinaria contiene Du. Separar la parte distribucional de la función regular evita dibujar una delta como un pico de altura arbitraria. Las condiciones iniciales se añaden aparte de la respuesta a la entrada.

Un primer orden estable tiene forma τy′+y=Ku con τ>0.

El equilibrio es KU₀. La diferencia hasta él se multiplica por exp(−1) en cada constante de tiempo τ.

En t=τ queda el 36,8 % de la diferencia inicial y se ha recorrido el 63,2 % del cambio total. Ese porcentaje no se aplica sin más al valor final absoluto cuando y₀≠0. Cambiar K puede cambiar la amplitud del cambio sin cambiar τ. Las unidades de τ son tiempo; K relaciona unidades de entrada y salida.

Para 0<ζ<1, los polos −ζωₙ±iωₙ√(1−ζ²) combinan decaimiento y oscilación. ζ=1 da un polo doble real negativo; ζ>1, dos reales negativos. Para ζ=0 no hay amortiguación en este modelo ideal, y ζ<0 introduce modos de crecimiento.

Estas etiquetas describen ese denominador canónico. La respuesta concreta depende también de ceros, otros polos y datos iniciales. Las fórmulas de escalón canónico que siguen usan estado inicial cero y ningún cero adicional. No se generaliza una curva monótona o un porcentaje de sobreimpulso a cualquier función con el mismo denominador.

Fijamos convenciones antes de medir. El tiempo de subida 10–90 % es la diferencia entre alcanzar el 10 % y el 90 % del cambio. El sobreimpulso compara el exceso sobre el valor final con el tamaño del cambio. El establecimiento al 2 % exige permanecer desde entonces dentro de una banda del 2 % del cambio, no cruzarla solo una vez.

Para un primer orden monótono, el error relativo al cambio es exp(−t/τ).

Para el segundo orden canónico subamortiguado sin ceros e inicio cero, el sobreimpulso relativo es exp[−πζ/√(1−ζ²)]. Una envolvente puede dar una cota suficiente de establecimiento, que no tiene por qué ser el primer instante exacto.

Si la entrada se hace constante y todos los modos libres decaen, se puede calcular el equilibrio anulando la derivada. En un sistema finito con A Hurwitz y entrada constante, exp(At) tiende a cero y la respuesta se acerca al equilibrio correspondiente. Un equilibrio existente sin esa estabilidad no garantiza que una trayectoria llegue a él.

En el caso racional ordinario habitual, un criterio suficiente del teorema del valor final es que todos los polos de sY(s) estén estrictamente en el semiplano izquierdo.

Un polo de Y en cero puede desaparecer al multiplicar por s y representar un valor constante. Polos derechos u oscilaciones sostenidas impiden aplicar ese criterio.

Para verificar una propuesta, evaluamos el dato inicial, derivamos y sustituimos en la ecuación, comprobamos unidades y revisamos el límite cuando existe. La pendiente inicial debe concordar con la dinámica. Una curva que empieza y termina bien puede seguir teniendo una velocidad de cambio equivocada en todo el trayecto.

Con varios modos, una exponencial lenta de coeficiente no nulo suele dominar la cola, aunque apenas se note al principio. Si su coeficiente es cero, no aparece en esa salida y ese dato inicial. Por eso una lectura de polos debe acompañarse de sus contribuciones; mayor amplitud o mayor frecuencia no significan necesariamente dominar el largo plazo.