Estabilidad interna y estabilidad entrada-salida

Para estabilidad interna miramos x′=Ax sin entrada y permitimos un estado inicial pequeño x₀. Nos importan todas las componentes del estado, aunque alguna no se mida. Para estabilidad entrada–salida fijamos x₀=0, aplicamos entradas y miramos la salida y. Cambiar de pregunta cambia qué datos se permiten y qué debemos acotar.

Esta lección trata tiempo continuo y sistemas lineales finitos con matrices constantes.

En tiempo discreto las condiciones espectrales se formulan con el disco unidad; no se traslada allí la regla de parte real negativa de continuo.

Estabilidad de Lyapunov significa: para cualquier radio ε>0 existe δ>0 tal que ||x₀||<δ implica ||x(t)||<ε para todo t≥0. δ controla cuánto podemos perturbar al principio; ε fija el margen que no queremos superar. Es asintótica si además las trayectorias suficientemente cercanas tienden a cero.

En un sistema lineal, si todos los estados iniciales cercanos convergen, la escala permite extender la convergencia a cualquier estado inicial. Permanecer cerca por sí solo no exige disminuir, y estabilidad asintótica no exige que cada componente o cada norma baje monótonamente desde el primer instante.

Para un autovector v de autovalor λ=a+ib, exp(λt)v tiene factor de magnitud exp(at). La parte real decide el crecimiento o decaimiento modal; b introduce oscilación. En dimensión finita, todos los autovalores con parte real estrictamente negativa equivalen a estabilidad asintótica y exponencial: existen M≥1 y α>0 con ||exp(At)||≤Mexp(−αt).

A se llama Hurwitz.

No hace falta diagonalización: los factores polinómicos de los bloques de Jordan quedan dominados por exponenciales decrecientes. M permite cubrir amplificación transitoria. Autovalores negativos por sí solos no prometen una norma decreciente en todo instante ni una perturbación que nunca crezca antes de desaparecer.

Un autovalor de parte real positiva implica inestabilidad. Si todos tienen parte real no positiva, la estabilidad de Lyapunov exige que los de parte real cero sean semisimples: sus bloques de Jordan tienen tamaño uno. Un bloque mayor en el eje imaginario añade crecimiento polinómico sin amortiguamiento que lo compense.

Así cero o ±iω no significan automáticamente estabilidad ni inestabilidad. Primero se revisa la estructura. Para estabilidad asintótica sí se exige que todos queden estrictamente a la izquierda, sin excepciones en la frontera. Una matriz con autovalores todos cero puede comportarse de manera muy diferente de otra con la misma lista.

BIBO significa que toda entrada acotada admisible produce salida acotada con estado inicial cero. Una entrada acotada satisface |u(t)|≤U_max para algún número finito y todo tiempo. Comprobar un caso de entrada no demuestra una afirmación para todos; encontrar una sola entrada acotada con salida ilimitada sí la refuta.

Un sistema puede tener una respuesta al escalón acotada y fallar ante una oscilación que acumula efecto por resonancia. Estudiamos la relación de estado cero. No se confunde un impulso ideal, que no es una función ordinaria acotada, con el conjunto de entradas ordinarias de esta definición.

Para un operador causal de convolución con parte regular h y paso directo finito D, y(t)=Du(t)+∫₀ᵗh(v)u(t−v)dv.

La integrabilidad absoluta de h caracteriza BIBO en este marco habitual. Con varias entradas y salidas se revisan las componentes de la matriz impulsional.

No se sustituye ∫|h| por |∫h|: una entrada puede evitar cancelaciones que aparecerían con una entrada constante. Tampoco se introduce Dδ dentro de una integral ordinaria de valor absoluto como si la delta fuera una función. El paso directo se ha separado y queda acotado por |D|U_max.

Para una transferencia racional propia y causal, BIBO equivale a que todos sus polos de la expresión reducida tengan parte real estrictamente negativa. Propia significa que el grado del numerador no supera al del denominador. Permite un D finito, pero excluye diferenciadores ideales. Se mantiene la región causal de la respuesta.

Los polos repetidos estables producen polinomios por exponenciales decrecientes, que son absolutamente integrables. Los polos imaginarios persistentes o derechos incumplen el criterio. La fracción reducida describe la relación externa; para hablar de estados internos seguimos necesitando su realización.

Si A es Hurwitz, cualquier B, C, D finitas producen una transferencia propia de estado cero BIBO estable. La inversa no vale para toda realización: puede haber modos que la entrada no alcanza o la salida no observa. Una realización mínima no conserva esas direcciones redundantes; entonces sus polos externos representan sus autovalores internos.

Controlabilidad y observabilidad son requisitos distintos. Incluso un modo que sí recibe la entrada puede crecer sin verse en una salida que lo ignora. Una conclusión sobre G debe indicar si también se ha revisado el estado completo y la estructura mínima.

La revisión declara qué estabilidad demuestra y para qué modelo. En el estado se revisan A y los bloques de frontera. En BIBO se revisa h o la transferencia causal propia reducida. Si se comparan las dos, se comprueban minimalidad y modos ocultos. Una única transferencia de referencia a salida no inspecciona por sí sola todas las señales de una interconexión.

Una pequeña perturbación del modelo puede romper una cancelación inestable exacta. Cancelar factores algebraicos no cambia un modo físico interno si este sigue existiendo en la realización. Las tolerancias y las condiciones del modelo deben acompañar cualquier conclusión, especialmente si el efecto tarda en manifestarse.

Una medida V(x)=xᵀPx con P simétrica definida positiva controla el tamaño del estado.

Si esa matriz es −Q con Q definida positiva, V disminuye estrictamente fuera del origen. Las cotas con autovalores positivos de P y Q convierten esa disminución en una garantía exponencial.

Para una A Hurwitz y cualquier Q definida positiva existe una única P definida positiva que resuelve AᵀP+PA=−Q. Aquí no necesitamos usar ese teorema como caja negra: proponemos dos P y comprobamos simetría, positividad e identidad directamente. V es una medida matemática; no tiene por qué ser energía física en las unidades originales.