Dos objetos pueden recibir la misma fuerza y ocupar ahora la misma posición, pero moverse de manera distinta si sus velocidades no coinciden. El estado guarda esa memoria necesaria. Vamos a construirlo desde una ecuación conocida, leer cada fila de sus matrices y después deducir qué parte del comportamiento recoge una función de transferencia.
Si necesitas repasar:
1. El estado guarda la memoria que necesitamos para predecir
Conocer la entrada actual no suele bastar para conocer la salida actual o futura. El estado reúne la información que, junto con la entrada futura y el modelo, permite continuar la trayectoria. No almacena todo el pasado literalmente: lo resume en las variables relevantes. En un modelo de movimiento de segundo orden suelen ser posición q y velocidad v.
La salida es lo que decidimos observar, por ejemplo solo q. Estado y salida no son sinónimos; puede haber más estados que sensores. Aquí trabajamos con ecuaciones ordinarias de dimensión finita. Un retardo exacto o un campo de temperatura continuo puede necesitar una descripción de otra clase.
La misma posición no implica el mismo futuro
q″+4q′+3q=0, con q(0)=0 y velocidades iniciales +1 o −1.
Dato común
Ambas trayectorias empiezan en posición cero y tienen la misma entrada nula.
Dato distinto
Sus pendientes iniciales son opuestas.
Las soluciones son q₊=[exp(−t)−exp(−3t)]/2 y q₋=−q₊.Comprobar
En cero ambas valen cero, pero q₊′(0)=1 y q₋′(0)=−1.Sustituir sus exponentes en λ²+4λ+3=0 verifica la ecuación.
Necesitamos conservar la velocidad para distinguir las dos trayectorias.
La salida medida q(0)=0 por sí sola no selecciona una de ellas.
Elegir qué se guarda y qué se observa
Un movimiento tiene estado x=(q, v)ᵀ y el sensor solo mide posición.
Estado
x contiene dos números, uno con posición y otro con velocidad.
Salida
y=q se escribe y=[1,0]x.Esa fila toma la primera componente y no la segunda.
Predicción
Si además conocemos la ecuación y la entrada futura, x(0) fija cómo seguirá el movimiento. No hace falta conservar una lista de todas las posiciones pasadas.
Dos estados pueden producir una sola salida medida en cada instante.
No observar directamente v no significa que v deje de influir en la evolución de q.
2. Una ecuación cambia el estado y otra lee la salida
Un sistema lineal invariante en el tiempo se escribe x′=Ax+Bu y y=Cx+Du, con matrices constantes. La primera ecuación da la derivada del estado; la segunda produce la salida. Cada fila expresa una ecuación escalar. Du es paso directo: la entrada puede aportar a la salida sin esperar a que cambie el estado.
La dinámica es lineal en estado y entrada juntos. Si fijamos un estado inicial no nulo y miramos solo el mapa de entrada a salida, aparece una respuesta libre independiente de la entrada: ese mapa es afín en general, no lineal homogéneo. La función de transferencia se definirá usando estado inicial cero.
Leer una fila como una cuenta concreta
A=[[0,1],[−3,−4]], B=(0,2)ᵀ, C=(1,0), D=0; x=(1,−2)ᵀ y u=3.
Primera fila
q′=v=−2.Segunda fila
v′=−3q−4v+2u=−3+8+6=11.Salida
y=q=1.El estado actual no es su derivada: x=(1,−2), mientras x′=(−2,11).
Las matrices reúnen ecuaciones sin cambiar el significado de sus variables.
La entrada aparece en la aceleración; no se añade directamente a q′ ni a y en este modelo.
Separar paso directo y respuesta libre
x′=−2x+u, y=3x+(1/2)u; x(0)=1.
Entrada nula
Con u=0, x=exp(−2t) y y=3exp(−2t).Entrada cero no da salida cero por el dato inicial.
Cambio de entrada
Si u salta de cero a dos, un estado ordinario continuo conserva el mismo valor inmediato, pero el término (1/2)u añade uno a la salida.
Interpretación
La salida puede saltar por D, mientras el estado sigue una ecuación diferencial sin salto para entradas ordinarias localmente integrables.
El paso directo y la memoria interna son mecanismos diferentes.
Un impulso ideal podría cambiar el estado; no lo confundimos con un escalón finito.
3. Dimensiones y unidades permiten revisar el modelo antes de resolverlo
Si x tiene n componentes, u tiene m e y tiene p, las matrices son A de n×n, B de n×m, C de p×n y D de p×m. Ax y Bu deben tener n componentes; Cx y Du, p. No se suman vectores de tamaños incompatibles.
El orden de las columnas debe coincidir con el orden declarado de variables.
Las unidades de los estados pueden ser distintas. Cada coeficiente convierte la unidad de su variable en la unidad de la fila correspondiente. En un movimiento, q′ se mide como velocidad y v′ como aceleración. Tener los tamaños correctos no garantiza tener las unidades ni los coeficientes físicos correctos.
Dos entradas y una salida siguen teniendo tamaños precisos
A=diag(−1,−2), B=[[0,1],[2,0]], C=(1,−1), D=(0,3), x=(2,1)ᵀ, u=(4,−1)ᵀ.
Dinámica
Ax=(−2,−2)ᵀ y Bu=(−1,8)ᵀ; entonces x′=(−3,6)ᵀ.Salida
Cx=2−1=1 y Du=0·4+3·(−1)=−3, así y=−2.Tamaños
A y B son 2×2; C y D, 1×2. La salida es escalar aunque haya dos estados y dos entradas.
Las dimensiones se comprueban en cada producto y también en cada suma.
Intercambiar las dos entradas sin intercambiar las columnas de B y D describiría otra conexión.
Una ecuación de movimiento conserva masa, rozamiento y rigidez
(1/2)q″+2q′+(3/2)q=u, con masa en kg, q en m y u en N.
Dividir por la masa
q″=−3q−4q′+2u.La masa es 1/2 kg, el rozamiento 2 kg/s y la rigidez 3/2 kg/s².
Unidades de la segunda fila
El factor de q tiene unidad s⁻², el de v unidad s⁻¹ y el de u unidad kg⁻¹. Todos producen m/s².
Primera fila
q′=v ya está en m/s.No se suman posición y velocidad sin los coeficientes con sus unidades.
La forma numérica coincide con el modelo de dos estados que estamos construyendo.
El factor dos de la entrada proviene de dividir entre la masa, no de una regla general para toda fuerza.
4. Bajar el orden significa introducir variables, no perder condiciones
Las condiciones q(0) y q′(0) forman x(0). La ecuación de segundo orden se ha repartido en dos de primero de forma exacta.
En orden mayor repetimos la idea usando la salida y sus derivadas sucesivas, después de dividir por el coeficiente principal no nulo. La elección de estado no es única. Este procedimiento elemental se aplica a ecuaciones de la forma indicada; si aparecen derivadas de la entrada, conviene revisar la realización y qué datos tratamos como entradas.
Construir y recuperar la ecuación de segundo orden
q″+4q′+3q=2u, salida y=q.
Asignar
x₁=q, x₂=q′.Matrices
A=[[0,1],[−3,−4]], B=(0,2)ᵀ, C=(1,0), D=0.Volver atrás
Derivar x₁′=x₂ da q″=x₂′=−3q−4q′+2u.No se perdió ni se aproximó ningún término.
Dos datos iniciales pasan a dos componentes del estado.
Si q(0)=2 y q′(0)=−1, el vector inicial es (2,−1)ᵀ en ese orden.
La misma construcción admite tres derivadas
y‴+6y″+11y′+6y=u.
Tres estados
x₁=y, x₂=y′, x₃=y″.Las dos primeras filas son x₁′=x₂ y x₂′=x₃.Última fila
x₃′=−6x₁−11x₂−6x₃+u.Así A=[[0,1,0],[0,0,1],[−6,−11,−6]], B=(0,0,1)ᵀ.Salida e inicio
C=(1,0,0), D=0.Los datos y(0)=1, y′(0)=−1, y″(0)=2 forman x(0)=(1,−1,2)ᵀ.
El orden se conserva como número de variables de primer orden.
La fila final permite reconstruir exactamente la tercera derivada de la salida.
5. La transferencia aparece al separar entrada y estado inicial
Las señales deben admitir transformada en un semiplano común suficiente para esta deducción.
No contiene por sí sola la segunda aportación inicial. Para una entrada y una salida es escalar; en varias entradas y salidas es una matriz. Podemos resolver un sistema con sI−A en lugar de calcular una inversa explícita completa.
Deducir la transferencia sin ocultar los datos iniciales
Modelo q′=v, v′=−3q−4v+2u; q(0)=a, v(0)=b.
Primera fila
sQ−a=V.Segunda fila
sV−b=−3Q−4V+2U.Sustituir V=sQ−a da (s²+4s+3)Q=2U+(s+4)a+b.Separar
G=2/(s²+4s+3).La respuesta inicial en Q es [(s+4)a+b]/(s²+4s+3); desaparece solo si a=b=0.
La transferencia y el término inicial responden a preguntas distintas del mismo modelo.
Poner U=0 no obliga a Q=0 si el objeto empezó desplazado o con velocidad.
Un término directo se suma a la ruta a través del estado
x′=−3x+2u, y=4x+u, con estado inicial cero.
Estado
(s+3)X=2U, así X/U=2/(s+3).Salida
Y/U=4·2/(s+3)+1=(s+11)/(s+3).Separar memoria y paso directo
G tiene una parte dinámica 8/(s+3) y otra instantánea uno.
Si x(0)=2, habría además salida libre 8exp(−3t).
D=1 permanece visible incluso a frecuencias muy altas.
No se multiplica D por (sI−A)⁻¹: el paso directo no pasa por el estado.
6. Polos, ceros y equilibrio se interpretan conservando la dinámica
Para una transferencia escalar racional reducida, los polos son raíces del denominador y los ceros raíces del numerador. Simplificamos factores comunes para identificar la relación externa, pero conservamos las matrices si queremos estudiar todos los modos internos. No todo autovalor de una realización no mínima tiene que aparecer como polo de G.
Con A invertible y entrada constante, el equilibrio satisface x_eq=−A⁻¹Bu_eq e y_eq=(D−CA⁻¹B)u_eq=G(0)u_eq. Es una identidad algebraica. Llegar a ese equilibrio desde otros datos requiere estabilidad y condiciones dinámicas; no se demuestra solo poniendo s=0.
Encontrar un equilibrio y sus polos en el modelo de movimiento
G=2/[(s+1)(s+3)], entrada constante u=1.
Polos
Son −1 y −3; el numerador constante no introduce ceros finitos.
Equilibrio
q′=v=0 y 0=−3q+2, por tanto q_eq=2/3 y v_eq=0.Ganancia
G(0)=2/3.Como ambos modos de este modelo decaen, sus trayectorias con entrada constante se acercan a ese equilibrio.
El valor de equilibrio y la convergencia se justifican con argumentos separados.
El segundo dato, v_eq=0, no se omite por observar solo q.
Una ganancia algebraica puede describir un equilibrio inestable
x′=x+u, y=x, entrada u=1 y x(0)=0.
Transferencia
G=1/(s−1), así G(0)=−1 como evaluación racional.Equilibrio
Anular la derivada da x_eq=−1.Trayectoria real
Con x(0)=0, x=exp(t)−1, que crece y no se acerca a −1.El modo de polo +1 es inestable.
G(0) no es una promesa de valor final sin estabilidad.
El equilibrio −1 sí es una solución constante si se empieza exactamente allí.
7. Cambiar las coordenadas cambia las matrices, pero conserva el movimiento descrito
Si x=Tz con T constante invertible, entonces z′=T⁻¹ATz+T⁻¹Bu y y=CTz+Du.
A y T⁻¹AT son semejantes y tienen los mismos autovalores. Cada trayectoria en z corresponde a una en x; no hemos cambiado la entrada ni la salida física.
La transferencia se conserva porque sI−T⁻¹AT=T⁻¹(sI−A)T y las matrices T se cancelan al formar C̃(sI−Ã)⁻¹B̃+D. Comparar coeficientes sin comparar coordenadas puede hacer parecer distintos dos modelos equivalentes. T debe ser invertible: colapsar estados no es el mismo procedimiento.
Medir la posición con una escala dos veces mayor
Modelo A=[[0,1],[−3,−4]], B=(0,2)ᵀ, C=(1,0); elegir T=diag(2,1).
Coordenadas
q=2z₁ y v=z₂.Entonces z₁′=z₂/2.Segunda fila y salida
z₂′=−6z₁−4z₂+2u y y=2z₁.Así Ã=[[0,1/2],[−6,−4]], B̃=(0,2)ᵀ y C̃=(2,0).Comprobar
El polinomio característico sigue siendo s²+4s+3 y la transferencia 2/(s²+4s+3).
El dato x(0)=(2,−1) pasa a z(0)=(1,−1).
La coordenada numérica cambia; la posición física observada sigue siendo q.
Dejar C=(1,0) después del cambio haría que la salida fuese q/2 y ya no describiría el mismo sensor.
Cambiar solo el orden de las dos variables
Elegir z₁=v y z₂=q.
Permutación
T=[[0,1],[1,0]] y T⁻¹=T.Ecuaciones
z₁′=−4z₁−3z₂+2u; z₂′=z₁.La salida es y=z₂.Matrices
Ã=[[-4,−3],[1,0]], B̃=(2,0)ᵀ, C̃=(0,1), D=0.Sustituir z₁=q′ y z₂=q recupera la ecuación original.
Permutar variables exige permutar coherentemente dinámica, entrada, salida e inicio.
La posición ya no está en la primera componente: está en la segunda.
8. La transferencia puede esconder estados que el modelo interno conserva
Una realización es mínima si ninguna de menor dimensión describe la misma transferencia. En sistemas lineales finitos, esto equivale a ser controlable desde la entrada y observable desde la salida. Un modo no alcanzable o no observable puede no participar en la relación externa de estado cero.
Por eso modelos de dimensiones distintas pueden compartir G y aun tener estabilidad interna diferente. La transferencia es útil para conectar señales y estudiar la relación accesible; el estado permite preguntar por memoria, condiciones iniciales y modos ocultos. No se deduce la estabilidad interna de cualquier realización solo mirando una fracción reducida.
Añadir un estado oculto deja la transferencia intacta
w′=w, v′=−2v+u, y=v.
Estado cero
La entrada solo llega a v.
Con inicio cero, Y/U=1/(s+2).Estado oculto
Si w(0)=1, w=exp(t) crece, aunque la salida no lo mida.Su modo +1 no aparece en G.
Menor dimensión
La ecuación escalar v′=−2v+u, y=v ya realiza la misma G con un estado. La realización de dos estados no era mínima.
La relación entrada–salida estable puede coexistir con un estado interno que crece.
No se usa el estado oculto como una nueva entrada ni se le asigna después un valor para alterar la transferencia.
Comprobar que el modelo de movimiento sí necesita sus dos estados
A=[[0,1],[−3,−4]], B=(0,2)ᵀ y C=(1,0).
Alcanzabilidad
[B, AB]=[[0,2],[2,−8]] tiene determinante −4, no nulo.Las dos direcciones de estado son controlables.
Observabilidad
Las filas C y CA forman [[1,0],[0,1]], de rango dos. Ambas direcciones influyen en las observaciones temporales.
Conclusión
La realización es mínima y su transferencia reducida 2/[(s+1)(s+3)] conserva los dos modos.
En este caso no hay un estado redundante que podamos quitar manteniendo G.
Controlabilidad y observabilidad se estudiarán después como conceptos propios; aquí ambas pruebas pequeñas se pueden comprobar a mano.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un sistema escalar
x′=−2x+u, y=3x. Halla G(s) con x(0)=0.
Inicio cero
x(0)=0 permite definir la transferencia sin término libre adicional.
Transformar
sX=−2X+U.Despejar estado
X=U/(s+2).Leer salida
Y=3X, por tanto Y=3U/(s+2).Transferencia
G=3/(s+2).Comprobar en tiempo
y′=3x′=−2y+3u; con y(0)=0 da la misma relación transformada.
G(s)=3/(s+2).
Derivar y=3x da y′=3x′=−2y+3u. Su transformada con y(0)=0 produce (s+2)Y=3U.
EJEMPLO RESUELTO 2
De segundo orden a estado
y″+3y′+2y=u. Usa x₁=y y x₂=y′.
Elegir estados
x₁=y y x₂=y′.Primera fila
x₁′=x₂.Despejar aceleración
y″=−2y−3y′+u, así x₂′=−2x₁−3x₂+u.Dinámica
A=[[0,1],[−2,−3]], B=(0,1)ᵀ.Salida
y=x₁, así C=(1,0), D=0.Verificar
Con inicio cero, (s²+3s+2)Y=U.La transferencia 1/(s²+3s+2) concuerda con la ecuación y sus dos estados.
A=[[0,1],[−2,−3]], B=(0,1)ᵀ, C=(1,0), D=0.
Con estado inicial nulo, la ecuación original y el modelo producen G(s)=1/(s²+3s+2). El grado dos concuerda con los dos estados.
Los símbolos que hemos usado
- x(t)
- Vector de estado; reúne las variables internas necesarias para predecir la evolución.
- u(t), y(t)
- Vectores de entrada y salida en el instante real t.
- A, B, C, D
- Matrices que describen evolución interna, acción de la entrada, medición del estado y paso directo.
- s
- Variable compleja de la transformada de Laplace, con dimensión de inverso de tiempo.
- I
- Matriz identidad del tamaño del estado.
- G(s)
- Función o matriz de transferencia de entrada a salida con estado inicial nulo.
- X(s), U(s), Y(s)
- Transformadas de Laplace del estado, la entrada y la salida.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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