Grado de Q(√3) sobre Q.
Su mínimo es cuadrático irreducible.
Si x²−3 tuviera una raíz racional, un razonamiento de divisibilidad por tres contradiría que la fracción esté reducida; también se puede aplicar Eisenstein con p=3.
Si [L:M]=3 y [M:K]=4, calcula [L:K].
Aplica la torre.
K⊂M⊂L es una torre con grados finitos dados.
La ley de la torre multiplica las dimensiones parciales: [L:K]=[L:M][M:K].
Sustituimos 3·4 y obtenemos 12.
Si α³=2 y su mínimo es x³−2, ¿cuál es la dimensión de Q(α)?
Usa el grado mínimo.
Su grado tres hace que 1,α,α² generen mediante reducción de potencias y sean independientes por minimalidad.
La dimensión de Q(α) sobre Q es tres.
Explica por qué √2+√3 es algebraico sobre Q.
Elimina radicales de su ecuación.
Este polinomio racional no nulo prueba algebraicidad sin requerir que ya sepamos su mínimo.
Prueba que un número trascendente no puede pertenecer a una extensión finita de Q.
Compara potencias con la dimensión.
Supongamos que α pertenece a una extensión L/Q de dimensión finita d.
Los d+1 elementos 1,α,…,αᵈ son dependientes sobre Q, así existe una combinación no trivial c₀+c₁α+⋯+c_dαᵈ=0.
Esa combinación es un polinomio racional no nulo que anula α, contradiciendo trascendencia. Por tanto ningún trascendente puede pertenecer a L.