Cuerpos y extensiones algebraicas

L/K significa que K es subcuerpo de L: sus elementos mantienen suma, producto, cero, uno e inversos.

K(α) es el menor cuerpo que contiene K y α; sus elementos pueden escribirse como f(α)/g(α), con coeficientes en K y g(α)≠0. K[α] reúne solo expresiones polinómicas. Para α algebraico resultará que los inversos ya están en K[α], pero eso necesita demostración.

Es trascendente si no existe ninguno. El polinomio cero no cuenta, porque anula cualquier entrada y haría vacía la definición.

Una ecuación aporta una relación que permite reducir potencias, pero su grado puede ser redundante. Además, al ampliar la base se permiten nuevos coeficientes: todo α que ya esté en K es algebraico sobre K por x−α.

Para α algebraico elegimos una relación no nula de menor grado y normalizamos su coeficiente principal a uno: mα. Si se factorizara en dos grados positivos, al evaluar el producto en el cuerpo L uno de los factores se anularía, contradiciendo la minimalidad.

El resto también se anula en α y tiene menor grado; debe ser cero. Por tanto mα divide f. Dos mínimos mónicos se dividen mutuamente y son iguales. Estas propiedades identifican las relaciones exactas, no solo algunas ecuaciones favorables.

La evaluación K[x]→K[α] tiene núcleo (mα), porque sus elementos son exactamente las relaciones. El primer isomorfismo da K[α]≅K[x]/(mα).

El inverso es otro polinomio en α, así que K[α] ya es cuerpo y coincide con K(α). Esta es la razón formal que faltaba en el contraste con K[t].

Si deg mα=d, dividir por mα reduce toda expresión a una combinación de 1,α,…,α^(d−1), con coeficientes en K. Esas potencias generan K(α). Una combinación nula no trivial daría una relación de grado menor que d; por minimalidad son independientes.

La escritura es única. Para multiplicar expandimos y reducimos potencias con mα(α)=0; los números algebraicos no necesitan convertirse en decimales para hacer las cuentas.

Si [L:K]=d<∞, para cada α∈L los d+1 vectores 1,α,…,αᵈ son dependientes. Sus coeficientes dan un polinomio no nulo que anula α. Esto prueba que toda extensión de grado finito es algebraica.

Una extensión algebraica puede tener elementos de grados sin cota común y entonces no tener dimensión finita. El cuerpo de todos los números algebraicos sobre ℚ contiene raíces de xⁿ−3 para todo n≥1; Eisenstein con tres da grados n. La estabilidad de los algebraicos bajo operaciones se justificará también mediante extensiones finitas.

Con base bᵢ de M/K y cⱼ de L/M, los productos bᵢcⱼ generan L sobre K. Agrupar una relación primero por los cⱼ y después por los bᵢ demuestra independencia.

Un cuerpo intermedio finito tiene grado sobre K que divide al total. Al añadir un nuevo generador calculamos su mínimo sobre el cuerpo ya construido, no de nuevo sobre K. Puede tener un grado menor porque parte de la información ya estaba añadida.

Si α,β son algebraicos sobre K, K(α)/K es finita y β sigue teniendo alguna relación no nula sobre K(α). Así K(α,β)/K(α) es finita; por la torre, K(α,β)/K también. Toda suma, producto o cociente no nulo dentro de ella es algebraico.

Esto prueba que los algebraicos forman un cuerpo. A veces podemos obtener una ecuación concreta eliminando radicales; esa ecuación prueba algebraicidad. Afirmar que es el mínimo exige además irreducibilidad o un grado demostrado independientemente.

Para x²−3, añadir √3 incorpora también −√3 por cierre aditivo; ambas raíces quedan dentro. Para x³−3, el cuerpo real generado por ∛3 no contiene las otras dos raíces no reales.

Esto prepara cuerpos de descomposición y Galois. Antes de contar simetrías o imágenes de un generador comprobamos cuáles de sus conjugadas pertenecen al cuerpo. Conocer su mínimo no permite asumir que todas sus raíces ya están disponibles.