EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Orden de 2 en Z/8Z aditivo.
- PISTA 1
Una pista
Busca el primer múltiplo de ocho.
Un desarrollo posible.
El orden busca el menor n>0 con 2n divisible por ocho.
La fórmula aditiva da 8/mcd(2,8)=8/2=4.
Los múltiplos dos, cuatro y seis no son cero módulo ocho; el cuarto da ocho. El orden es 4.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Número de elementos del subgrupo generado por 3 en Z/9Z.
- PISTA 1
Una pista
Enumera múltiplos módulo nueve.
Un desarrollo posible.
Sumar tres repetidamente módulo nueve produce cero, tres y seis.
La siguiente suma vuelve a cero porque 3·3=9.
El subgrupo tiene 3 elementos distintos.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Orden del grupo de permutaciones de tres objetos.
- PISTA 1
Una pista
Cuenta biyecciones.
Un desarrollo posible.
Una permutación es una biyección de los tres objetos consigo mismos.
Hay tres opciones para la primera imagen, dos para la segunda y una para la última.
El número de elementos de S₃ es 3·2·1=3!=6.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que todo grupo cíclico es abeliano.
- PISTA 1
Una pista
Escribe dos elementos como potencias del generador.
Un desarrollo posible.
En un grupo cíclico, dos elementos arbitrarios se escriben g^a y g^b con a,b enteros.
Las leyes de potencias de un mismo elemento dan g^ag^b=g^(a+b).
Como a+b=b+a, resulta g^ag^b=g^bg^a.
Por tanto el grupo es abeliano.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Prueba que el neutro de un grupo es único.
- PISTA 1
Una pista
Si e y e′ son neutros, calcula ee′.
Un desarrollo posible.
Supongamos que e y e′ son ambos neutros.
Por ser e neutro izquierdo, ee′=e′.
Por ser e′ neutro derecho, ee′=e.
Las dos igualdades implican e=e′.