Grupos, subgrupos y grupos cíclicos

Además (ab)c=a(bc), hay neutro e con ea=ae=a y para cada a existe a⁻¹ con aa⁻¹=a⁻¹a=e. Conjunto y operación se declaran juntos; cambiar la operación cambia la pregunta.

Si vale para todos, el grupo es abeliano. En notación aditiva escribimos a+b, neutro cero e inverso −a. Un conjunto con una operación asociativa pero sin inversos para todos sus elementos todavía no es grupo.

La asociatividad permite escribir abc sin elegir entre (ab)c y a(bc). No permite cambiarlo por acb. En permutaciones componemos de derecha a izquierda: ab significa primero b y después a. Es la convención de composición de funciones.

Los inversos y el neutro son únicos. Para cancelar multiplicamos por el inverso en el lado adecuado: ab=ac implica b=c al multiplicar a⁻¹ por la izquierda. El inverso de ab es b⁻¹a⁻¹, porque hay que deshacer en orden inverso: (ab)(b⁻¹a⁻¹)=e.

H≤G significa que H es un subconjunto que contiene e y está cerrado bajo productos e inversos de sus propios elementos. La asociatividad ya viene de G. Contener algunos elementos de un grupo no basta para ser subgrupo.

Tomar a=b produce e; después e b⁻¹ produce inversos y combinar a con el inverso de b produce ab. En notación aditiva se comprueba cierre por diferencias a−b.

El exponente cero aporta e y los negativos aportan inversos. Para un mismo elemento, gᵐgⁿ=gᵐ⁺ⁿ; estas leyes no necesitan que los demás elementos del grupo conmuten.

Si solo alcanzamos una parte propia, g genera ese subgrupo, no el grupo completo. En notación aditiva sustituimos potencias por múltiplos enteros.

Las primeras n potencias e,g,…,gⁿ⁻¹ son distintas; después se repiten. Si no existe tal n, el orden es infinito.

Dividimos k=qn+r con 0≤r<n: gᵏ=gʳ y un resto positivo que diera e contradiría el primer retorno. El neutro tiene orden uno. No confundimos orden de un elemento con número total de elementos de G.

Para H≤G, la clase izquierda gH={gh:h∈H} es una copia desplazada de H. La aplicación h↦gh es biyectiva, con inversa multiplicar por g⁻¹. Si dos clases comparten un punto, usar inversos muestra que son la misma; por tanto particionan G.

Si G es finito, |G|=[G:H]|H|: número de clases por tamaño de cada clase. Así |H| divide |G|. Aplicándolo a ⟨g⟩, ord(g) divide |G|. No exigimos normalidad para contar clases; la necesitaremos para multiplicarlas como un grupo cociente.

Todo subgrupo de un cíclico es cíclico: si no es trivial, elegimos el menor exponente positivo m con gᵐ∈H. Para cualquier gᵏ∈H, dividir k entre m deja un resto r con gʳ∈H; la minimalidad fuerza r=0.

Para cada divisor d de n hay exactamente un subgrupo de tamaño d: ⟨gⁿᐟᵈ⟩. Esta existencia para todos los divisores es especial; Lagrange en un grupo general no la garantiza.

Entonces m|na equivale a m′|na′, y la coprimalidad lo convierte en m′|n.

Un resto genera todo el grupo aditivo exactamente cuando es coprimo con m. La palabra aditivo evita confundir múltiplos na con potencias aⁿ.

Si un grupo tiene orden primo p, cualquier elemento no neutro tiene orden mayor que uno y divisor de p: debe ser p y genera todo el grupo. En cambio, algunos grupos de orden compuesto son cíclicos y otros no.

Los enteros aditivos son cíclicos infinitos, generados por 1 o −1. Las permutaciones muestran otra estructura, donde la composición puede no conmutar. En cada verificación se nombra la operación, el neutro y cómo se comprueba el primer retorno o el cierre universal.