Resto de dividir x³+1 entre x−2.
Usa el teorema del resto.
Para un divisor x−a el resto es f(a), por el teorema del resto.
Grado de (x²+1)(x³−2).
Los grados se suman en un cuerpo.
Los factores tienen grados dos y tres y coeficientes principales iguales a uno.
En un cuerpo, el coeficiente principal del producto es 1·1≠0, así no se cancela el término de mayor grado.
Número de raíces reales de x²+1.
Un cuadrado real no es negativo.
Una raíz real satisfaría x²+1=0 y por tanto x²=−1.
La igualdad es imposible: hay cero raíces reales.
Prueba que un polinomio no nulo de grado n tiene a lo sumo n raíces en un cuerpo.
Usa división por x−a e inducción.
Para grado cero no nulo no hay raíces, que inicia la inducción.
Si f de grado n tiene una raíz a, la división da f=(x−a)g con deg g=n−1; si no tiene ninguna, la cota ya vale.
Por inducción g tiene a lo sumo n−1 raíces; sumando a, f tiene a lo sumo n.
Da un polinomio de grado cuatro sin raíces racionales que sea reducible en Q[x].
Multiplica dos cuadráticos irreducibles.
La expresión ya exhibe un producto de dos factores de grado positivo, así es reducible sobre Q.
Si un racional r fuera raíz, uno de los factores se anularía; ambos son positivos para todo r real. No tiene raíces racionales.