Polinomios, divisibilidad y factorización

Los exponentes permitidos son 0,1,2,… y los coeficientes pertenecen a K. La indeterminada es formal: dos polinomios son iguales si coinciden sus coeficientes. Evaluarlos produce funciones, pero esa es una operación posterior.

Para polinomios no nulos, deg(fg)=deg f+deg g porque los coeficientes principales no se anulan al multiplicarse en un cuerpo. Las unidades son las constantes no nulas. No usamos el polinomio cero como divisor ni asignamos sin convención un grado ordinario al cero.

Para f y g≠0 en K[x], existen únicos q,r con f=qg+r y r=0 o deg r<deg g. Dividimos los términos principales para elegir el siguiente término de q y restamos su múltiplo de g. El grado provisional baja en cada paso y el proceso termina.

Una diferencia de cocientes no nula produciría grado al menos deg g, mientras la derecha tiene grado menor: imposible. El cuerpo permite dividir coeficientes principales; en ℤ[x] puede fallar esa posibilidad.

Repetimos las divisiones hasta el último resto no nulo y lo normalizamos mónico. Ese es el mcd, único con coeficiente principal uno.

Sustituir restos hacia atrás produce uf+vg=mcd(f,g). Si el mcd es uno, Bézout certifica coprimalidad. En cocientes, la misma identidad puede dar un inverso sin encontrar todas las raíces.

Al dividir por x−a, el resto es una constante r.

Por tanto a es raíz si y solo si x−a divide f.

La multiplicidad de a es el mayor m con (x−a)ᵐ|f. Extraer un factor lineal reduce el grado en uno, de modo que un polinomio no nulo de grado n no puede tener más de n raíces distintas. Cada paso usa factores exactos, no aproximaciones decimales.

Irreducible sobre K significa grado positivo y ausencia de un producto de dos factores de grados positivos en K[x]. En grados dos o tres, una descomposición obligaría a tener un factor lineal: no tener raíces en K equivale a irreducibilidad.

En grado cuatro pueden aparecer dos factores cuadráticos sin raíces en K. Además probar unas cuantas evaluaciones no descarta todas las raíces: necesitamos una lista completa justificada o un argumento que cubra todos los elementos.

La escritura de un polinomio puede mantenerse mientras cambia el cuerpo. Los factores deben usar coeficientes del cuerpo pedido. Una raíz que existe en una ampliación no proporciona automáticamente un factor lineal en el cuerpo original.

Sobre ℂ todo polinomio de grado positivo se descompone en lineales. Sobre ℝ, los irreducibles tienen grados uno o dos; los no reales aparecen en pares conjugados y forman cuadráticos reales. Sobre ℚ puede haber irreducibles de grados arbitrariamente altos.

Si f tiene coeficientes enteros y raíz u/v en fracción reducida con v>0, al multiplicar la ecuación por vⁿ obtenemos aₙuⁿ+…+a₀vⁿ=0. Reducir por divisibilidad de u y de v, usando su coprimalidad, obliga a u|a₀ y v|aₙ. Si a₀=0, extraemos primero factor x para estudiar las demás raíces.

El contenido es el mcd no negativo de los coeficientes enteros de un polinomio no nulo. Primitivo significa contenido uno. Gauss: el producto de primitivos es primitivo, pues si un primo dividiera todos los coeficientes del producto, reducir módulo él daría producto cero de dos polinomios no nulos sobre un cuerpo, imposible.

Limpiar denominadores y extraer contenidos permite trasladar una factorización racional de un primitivo a factores enteros de los mismos grados.

Para f=aₙxⁿ+…+a₀ entero, buscamos primo p que no divida aₙ, divida todos los coeficientes inferiores y cuyo cuadrado no divida a₀. Entonces f es irreducible sobre ℚ. Los coeficientes cero sí son divisibles por p.

Por Gauss, una factorización racional no trivial produciría factores enteros. Módulo p el producto solo tiene término principal y no pierde grado, así que ambos factores de grado positivo reducen a monomios de grado positivo. Sus constantes serían divisibles por p y a₀ por p²: contradicción.

Es criterio suficiente, no una clasificación de todos los irreducibles.

Todo polinomio no nulo de grado positivo en K[x] se escribe como constante no nula por producto de irreducibles mónicos. Existe porque separar factores reduce los grados. Para unicidad, un irreducible p que divide fg y no divide f tiene mcd(p,f)=1; Bézout, multiplicado por g, fuerza p|g.

Así cada irreducible de una factorización debe aparecer, salvo constante invertible, en la otra; normalizar a mónicos elimina esa ambigüedad y conserva las multiplicidades. Las aproximaciones numéricas sirven para explorar, pero no reemplazan una identidad exacta ni una prueba de irreducibilidad.