T:R⁵→R³ tiene rango 2. ¿Cuál es su nulidad?
Aplica rango–nulidad.
Rango–nulidad usa la dimensión del dominio, que es cinco.
Despejamos nulidad=3; no se usa la dimensión tres del codominio en ese lugar.
Para T(x,y)=(3x,2y), calcula la primera coordenada de T(2,−1).
Multiplica la primera entrada por tres.
La primera componente de T(x,y) es tres veces x.
La salida completa es (6,−2), por lo que la primera coordenada pedida es 6.
Rango de la matriz [[1,2],[2,4]].
Una columna es múltiplo de la otra.
Las columnas son (1,2)ᵀ y (2,4)ᵀ.
La segunda es dos veces la primera y la primera no es cero.
Hay una sola columna independiente, de modo que el rango es 1.
Demuestra que el núcleo de una aplicación lineal es subespacio.
Aplica T a una combinación de dos vectores del núcleo.
Por linealidad T(0)=0, así que cero pertenece al núcleo.
El núcleo contiene todas esas combinaciones y es subespacio.
¿T(x,y)=(x+1,y) es lineal?
Evalúa en el vector cero.
Una aplicación lineal debe enviar cero a cero.
La regla dada produce T(0,0)=(1,0), que no es el vector cero.
Por esa falla necesaria, T no es lineal; es una traslación en la primera componente.