Una aplicación lineal respeta las instrucciones con las que construimos vectores. Si sabemos qué hace a una base, sabemos qué hace a cualquier entrada. Aprenderemos a escribirla como matriz, distinguir qué entradas se pierden en el núcleo y qué salidas se alcanzan en la imagen.
Si necesitas repasar:
1. Lineal significa respetar todas las combinaciones, no solo enviar cero a cero
T:V→W es lineal sobre un mismo cuerpo de escalares si T(αu+βv)=αT(u)+βT(v) para cualesquiera u,v,α,β. Esta identidad incluye sumar y multiplicar por escalares. Implica T(0)=0, pero esa condición por sí sola no basta.
Las coordenadas de las fórmulas no deben contener traslaciones fijas si esperamos linealidad usual. Cuadrados y productos de variables también pueden romperla. Para demostrarla usamos entradas arbitrarias; un solo caso que incumpla la identidad sirve para refutarla.
Distribuir una combinación arbitraria
Prueba linealidad de T(x,y)=(2x+y,x+3y).
Entrada general
T(α(x,y)+β(s,t))=T(αx+βs,αy+βt).Distribuir
La salida es (α(2x+y)+β(2s+t),α(x+3y)+β(s+3t)).
Reagrupar
Es αT(x,y)+βT(s,t).
T es lineal sobre ℝ.
No lo hemos deducido solo de que la fórmula produzca cero en la entrada cero.
Cero correcto, linealidad falsa
T(x,y)=(x²,y) envía cero a cero. ¿Es lineal?
Entrada
u=(1,0), con T(u)=(1,0).Escalar
T(2u)=T(2,0)=(4,0).Comparar
2T(u)=(2,0), distinto de (4,0).
No es lineal.
Una traslación T(x,y)=(x+1,y) ya fallaría antes por no enviar cero a cero; aquí el fallo exige otro chequeo.
2. Conocer las imágenes de una base determina la aplicación completa
La unicidad de coordenadas hace que esa definición no dependa de otra representación posible. Por eso podemos asignar imágenes arbitrarias a una base y extender linealmente.
Si la familia no es base, puede faltar cobertura o haber relaciones de dependencia que las imágenes deban respetar. Conocer algunas imágenes de una función arbitraria tampoco determina el resto: la hipótesis lineal es esencial.
Extender desde una base no canónica
B=((1,0),(1,1)). Una aplicación lineal cumple T(b₁)=(2,1), T(b₂)=(3,4). Halla T(3,2).
Coordenadas de entrada
(3,2)=1b₁+2b₂.Linealidad
T(3,2)=(2,1)+2(3,4).Sumar
(2,1)+(6,8)=(8,9).
La salida es (8,9).
Las instrucciones uno y dos son respecto de B, no las componentes canónicas tres y dos.
Datos incompatibles con linealidad
¿Puede una aplicación lineal cumplir T(1,0)=(1,0) y T(2,0)=(0,1)?
Relación de entradas
(2,0)=2(1,0).Lo que exigiría linealidad
T(2,0)=2T(1,0)=(2,0).Conflicto
No puede ser simultáneamente (0,1).
No existe tal aplicación lineal.
Las imágenes solo se eligen libremente cuando las entradas asignadas forman una base; una familia dependiente impone restricciones.
3. La matriz usa una base de entrada y otra de salida
La columna j es [T(bⱼ)]_C: primero aplicamos T al vector de B y después escribimos esa salida en la base C.
Con n entradas de base y m salidas de base, A es m×n.
No copiamos las componentes usuales de T(bⱼ) si la salida usa una base diferente. Tampoco colocamos imágenes como filas: el producto matricial debe combinar columnas con los coeficientes de entrada.
| Objeto | Coordenadas |
|---|---|
| Entrada de A | [v]_B |
| Columna j | [T(bⱼ)]_C |
| Salida de A | [T(v)]_C |
Las dos bases cambian los números de la matriz
T(x,y)=(2x+y,x+3y), B=((1,0),(1,1)), C=((1,1),(0,1)).
Primera imagen
T(1,0)=(2,1)=2(1,1)−1(0,1): primera columna (2,−1).Segunda
T(1,1)=(3,4)=3(1,1)+1(0,1): segunda columna (3,1).Aplicar
A=[[2,3],[−1,1]].A(1,2)=(8,1) en C; reconstruir da (8,9).
La matriz entre B y C es [[2,3],[−1,1]].
La salida canónica (8,9) y sus coordenadas (8,1) en C describen el mismo vector.
Una matriz rectangular para derivar polinomios
D:P₂→P₁ envía p a p′. Usa bases (1,x,x²) y (1,x).
Imágenes
D(1)=0, D(x)=1, D(x²)=2x.Columnas en salida
(0,0),(1,0),(0,2).
Matriz y acción
A=[[0,1,0],[0,0,2]]; (a,b,c) produce (b,2c).
La derivación tiene una matriz 2×3 en estas bases.
La linealidad de derivar justifica extender las tres imágenes a todos los polinomios del dominio.
4. El núcleo reúne las entradas que se vuelven cero
Vive en el dominio y es subespacio por linealidad. Con matriz A resolvemos Aξ=0, donde ξ es una lista de coordenadas de entrada; si B no es canónica, reconstruimos el vector a partir de ella.
Si contiene un vector k no nulo, k y cero son entradas distintas con igual salida.
Un núcleo de tres componentes aunque la salida tenga dos
T(x,y,z)=(x+y,z). Calcula qué entradas producen cero.
Ecuaciones
x+y=0, z=0.Parámetro
(x,y,z)=(−t,t,0)=t(−1,1,0).Consecuencia
Hay entradas no nulas en el núcleo, así que no es inyectiva.
El núcleo es una recta de ℝ³.
(0,0) es una salida; no es una descripción del conjunto de entradas que estamos buscando.
Proyección sobre el primer eje
T(x,y)=(x,0). Describe núcleo y dos entradas con la misma imagen.
Cero de salida
x=0 y y libre: kerT=eje y.Dos entradas
(1,0) y (1,5) producen ambas (1,0).
Diferencia
(0,5) está en el núcleo y explica esa ambigüedad.
La proyección pierde toda la información de la segunda coordenada.
Un núcleo no trivial no significa que todas las salidas sean cero.
5. La imagen reúne las salidas alcanzables y la generan las columnas
La generan las imágenes de una base de entrada; en coordenadas es el espacio columna de A.
Para escoger una base de imagen mediante eliminación, localizamos columnas pivote y tomamos esas columnas de la matriz original. Las operaciones de filas pueden cambiar el espacio columna como conjunto de salidas, aunque permitan detectar las relaciones entre columnas.
Salidas alcanzables en una matriz de rango uno
A tiene columnas (1,2),(2,4),(−1,−2). Describe su imagen.
Relaciones
La segunda es dos veces la primera y la tercera su negativo.
Cobertura
Cualquier salida es un múltiplo de (1,2), y ese primer vector sí se alcanza.
Rango
La imagen tiene base {(1,2)} y dimensión uno.
No es sobreyectiva a ℝ².
La imagen es una recta de salidas, no una recta de entradas de tres componentes.
La derivación de P₂ a P₁ es sobreyectiva
Para D(p)=p′, muestra qué pasa con una salida arbitraria a+bx.
Buscar entrada
p(x)=ax+(b/2)x².Derivar
p′=a+bx, la salida deseada.Conclusión
Toda salida de P₁ se alcanza; rango dos. El núcleo son polinomios constantes, de dimensión uno.
La derivación pierde una constante, pero alcanza todos los polinomios de grado como mucho uno.
Ser sobreyectiva no obliga a tener una única entrada para cada salida.
6. Rango más nulidad recupera la dimensión del dominio
Para entenderlo, ampliamos una base del núcleo a una base del dominio. Las imágenes de los vectores añadidos generan toda la imagen. Si fueran dependientes, su combinación devolvería un vector del núcleo y violaría la independencia de la base ampliada.
Se suman dimensiones, no los propios espacios: núcleo e imagen pueden vivir en espacios diferentes. El rango no supera ni n ni m. Inyectividad exige rango n; sobreyectividad exige rango m. Solo en igual dimensión finita una implica la otra.
Tres dimensiones de entrada repartidas
D:P₂→P₁ tiene núcleo de dimensión uno e imagen de dimensión dos.
Dominio
P₂ tiene base (1,x,x²): dimensión tres.
Núcleo
Las constantes desaparecen al derivar: una dimensión.
Imagen
Las partes lineal y cuadrática de entrada producen las dos direcciones de P₁.
3=1+2.
No estamos afirmando que un polinomio del núcleo sea también una salida en la misma representación; el teorema cuenta direcciones.
Imposibilidades por dimensiones
Compara una aplicación lineal ℝ³→ℝ² y otra ℝ²→ℝ³.
Primera
Rango≤2; por rango–nulidad su núcleo tiene dimensión al menos uno: no puede ser inyectiva.
Segunda
Rango≤2<3: no puede ser sobreyectiva a ℝ³.Lo que sí puede pasar
La primera puede ser sobreyectiva; la segunda, inyectiva.
Las dos propiedades no son intercambiables si cambian dimensiones.
Estos límites dependen de linealidad y dimensiones finitas; no son una regla sobre cualquier función entre conjuntos.
7. Una salida alcanzable tiene una solución particular más todo el núcleo
Así todas las soluciones son v₀+kerT. Si w no pertenece a la imagen, no hay ninguna solución.
El dibujo muestra dos entradas de T(x,y,z)=(x+y,z) con salida (1,2). Su diferencia (−1,1,0) está en el núcleo. Esa dirección explica por qué se puede cambiar la entrada sin cambiar la salida.
Describir una fibra completa
Para T(x,y,z)=(x+y,z), resuelve T(v)=(1,2).
Una entrada
v₀=(1,0,2) funciona.Núcleo
t(−1,1,0).
Todas
v=(1−t,t,2), con t real.Sustituir da (1,2) para cualquier t.
Una recta afín de entradas, paralela al núcleo.
Como la salida no es cero, esta fibra no es un subespacio: no contiene el vector cero.
Una salida fuera de la imagen
Para T(x,y)=(x,0), resuelve T(x,y)=(2,1).
Comparar componentes
La segunda salida siempre es cero.
Objetivo
Se pide segunda salida uno, imposible.
Conclusión
No hay solución porque (2,1) no pertenece a la imagen.
Un núcleo conocido no asegura que cualquier salida se alcance.
Si la salida fuese (2,0), las soluciones serían (2,t), toda una fibra.
8. Componer matrices exige que las coordenadas intermedias estén en la misma base
Si T:V→W y S:W→U son lineales, la matriz de S∘T es la matriz de S por la de T, usando una misma base intermedia de W. Primero actúa el factor derecho sobre la entrada. El orden refleja el recorrido, no una preferencia de escritura.
Si una matriz entrega coordenadas en C y la siguiente espera coordenadas en otra base D, añadimos una conversión. Que los tamaños numéricos coincidan no garantiza que se esté pasando la misma descripción del vector.
Dos acciones lineales con base intermedia común
T(x,y)=(x+y,y) y S(u,v)=(u,2v), con bases canónicas.
Matrices
A=[[1,1],[0,1]], B=[[1,0],[0,2]].Producto correcto
BA=[[1,1],[0,2]].Componer directamente
S(T(x,y))=(x+y,2y), que confirma las columnas.
La matriz es BA.
AB=[[1,2],[0,2]] describiría el orden inverso y otra transformación.
Una conversión que no se puede omitir
La identidad T entrega coordenadas en C=((1,1),(0,1)); luego S espera componentes canónicas.
Vector ejemplo
La lista (1,0) en C representa el vector usual (1,1).
Conversión
Q=[[1,0],[1,1]] transforma esa lista a (1,1) canónico.Consecuencia
Si se pasa (1,0) sin Q, la segunda aplicación recibe otro vector.
Las etiquetas de bases forman parte de la composición.
Un producto de matrices 2×2 puede estar bien multiplicado y aun así modelar una operación equivocada.
9. Cambiar bases cambia la representación y conserva la aplicación
Una aplicación lineal biyectiva tiene inversa lineal. En dimensión finita igual, núcleo trivial basta; si las dimensiones difieren no hay inversa bilateral. Cuando cambiamos bases, la aplicación, su rango y nulidad no cambian.
Si P lleva coordenadas nuevas de entrada a antiguas y Q hace lo mismo en salida, la nueva matriz es Q⁻¹AP: entrar por P, actuar por A y salir por Q⁻¹. Para un endomorfismo con la misma base en ambos lados se reduce a P⁻¹AP.
Comprobar la matriz entre dos bases de esta página
Para T=(2x+y,x+3y), usa A=[[2,1],[1,3]], P=[[1,1],[0,1]], Q=[[1,0],[1,1]].
Entrada nueva a antigua
AP=[[2,3],[1,4]].Salida antigua a nueva
Q⁻¹=[[1,0],[−1,1]].Multiplicar
Q⁻¹AP=[[2,3],[−1,1]], la matriz obtenida por imágenes de B en C.
Las dos construcciones coinciden.
El rango sigue siendo dos: las bases no alteran qué salidas alcanza T.
Una inversa lineal concreta
T(x,y)=(x+y,y). Encuentra su inversa.
Nombrar salida
u=x+y, v=y.Resolver
y=v y x=u−v.Verificar
T⁻¹(u,v)=(u−v,v); ambas composiciones devuelven su entrada.
La inversa es lineal y tiene matriz [[1,−1],[0,1]].
No se obtiene tomando recíprocos de cada entrada de la matriz original.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Construir una matriz
La aplicación lineal T:R²→R² cumple T(1,0)=(2,1) y T(0,1)=(−1,3). Calcula T(2,1).
Hipótesis esencial
T es lineal: las dos imágenes de la base canónica determinan toda la aplicación.
Descomponer
(2,1)=2(1,0)+(0,1).Matriz
Las imágenes van como columnas: A=[[2,−1],[1,3]].Superponer
T(2,1)=2(2,1)+(−1,3).Sumar
(4,2)+(−1,3)=(3,5).Comprobar
El producto A(2,1) da primera componente cuatro menos uno y segunda dos más tres: (3,5).
T(2,1)=(3,5).
El cálculo usa esencialmente linealidad; esa es la condición que permite extender las dos imágenes de base a todos los vectores.
EJEMPLO RESUELTO 2
Rango y nulidad
T(x,y,z)=(x+y,z). Halla su núcleo.
Dominio
T:ℝ³→ℝ², así que sus vectores de núcleo tienen tres componentes.
Igualar a cero
x+y=0 y z=0.Parametrizar
y=t, x=−t: v=t(−1,1,0).Nulidad
El generador es no nulo; dimkerT=1.Rango–nulidad
Tres dimensiones de entrada menos una de núcleo dan rango dos.
Imagen directa
T(1,0,0)=(1,0) y T(0,0,1)=(0,1): alcanza una base de ℝ².Esto confirma el rango y la sobreyectividad.
ker T=span{(−1,1,0)}; rango 2.
T(−t,t,0)=(0,0) para cualquier t. Las dos salidas canónicas alcanzadas confirman el rango calculado.
Los símbolos que hemos usado
- T:V→W
- Aplicación del espacio de entrada V al de salida W.
- B=(b₁,…,b_n), C=(c₁,…,c_m)
- Bases ordenadas del dominio y del codominio.
- [v]_B
- Columna de coordenadas del vector v en B.
- [T]_(C←B)
- Matriz que transforma coordenadas de B en coordenadas de C.
- ker T
- Núcleo: vectores de entrada cuya imagen es cero.
- im T
- Imagen: vectores de salida que se alcanzan.
- rango, nulidad
- Dimensiones de la imagen y del núcleo, respectivamente.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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