Dimensión de R⁴.
Cuenta vectores de la base canónica.
R⁴ tiene los cuatro vectores canónicos, cada uno con un uno en una posición y ceros en las demás.
Todo vector se expresa con sus cuatro componentes como coeficientes y esa expresión es única.
Los cuatro vectores son base, así que la dimensión es 4.
Dimensión de span{(1,2),(2,4)}.
El segundo vector es múltiplo del primero.
(2,4)=2(1,2), por lo que el segundo generador no añade dirección.
El espacio generado es la recta de múltiplos de (1,2).
Ese vector es no nulo y por sí solo forma una base; la dimensión es 1.
Dimensión de {(x,y,z):x=0,y=0}.
Solo una coordenada queda libre.
Las condiciones fijan x=0 e y=0 y dejan z real libre.
El generador es no nulo, así que la dimensión es 1.
Demuestra que la intersección de dos subespacios es subespacio.
Comprueba cero y combinaciones lineales.
El vector cero está en ambos subespacios y por tanto en su intersección.
Si u y v pertenecen a ambos, cualquier αu+βv pertenece al primero por cierre.
La misma combinación pertenece al segundo, así que está en la intersección. Se cumplen las condiciones de subespacio.
¿La recta y=x+1 de R² es subespacio?
Examina el vector cero.
Todo subespacio con operaciones usuales debe contener el vector cero.
Por ello no es subespacio; no hace falta comprobar más condiciones después de encontrar esta falla necesaria.