Un vector no tiene que ser una flecha: puede ser un polinomio, una matriz o una función. Lo que importa es cómo sumamos y multiplicamos por números. Empezaremos con construcciones concretas y llegaremos a una base: unas instrucciones que permiten construir cada vector de una única manera.
Si necesitas repasar:
1. Un espacio vectorial declara objetos, escalares y operaciones
En ℝ² sumamos pares componente a componente y multiplicamos cada componente por un escalar real. También podemos sumar polinomios y multiplicar todos sus coeficientes por un real. Son objetos distintos con una estructura algebraica común.
Debemos indicar el cuerpo de escalares, aquí ℝ o ℂ. El mismo conjunto puede tener dimensiones diferentes según qué números se permiten como coeficientes. Primero exigimos que suma y producto escalar permanezcan dentro del conjunto; después comprobamos las reglas algebraicas.
Un polinomio como vector
En polinomios reales de grado como mucho dos, calcula 2(1+x)−(3−x²).
Multiplicar
2+2x.
Restar completo
(2+2x)−3+x²=−1+2x+x².Cerrar en el espacio
El resultado sigue teniendo grado como mucho dos.
La operación funciona con coeficientes, sin dibujar una flecha.
El polinomio cero también está incluido aunque no tenga un grado ordinario no negativo.
Cambiar los escalares cambia cuántos generadores hacen falta
Describe ℂ como espacio sobre ℝ y sobre ℂ.
Sobre reales
Todo a+bi=a·1+b·i con a,b reales; {1,i} es base porque a+bi=0 obliga a=b=0.
Sobre complejos
Todo z=z·1; basta la base {1} porque z puede ser ahora un escalar complejo.
Dimensiones
Dos sobre ℝ y uno sobre ℂ.
El cuerpo forma parte del enunciado.
No se contradicen los dos números: se permiten coeficientes diferentes.
2. Las reglas justifican las cuentas, incluso las que parecen obvias
La suma es asociativa y conmutativa, tiene vector cero y cada vector tiene opuesto.
Junto con el cierre, estas reglas permiten las manipulaciones lineales.
Por ejemplo, 0v=(0+0)v=0v+0v; sumar el opuesto de 0v a ambos lados obliga a 0v=0. No se toma como una propiedad gráfica independiente.
Restar usa el opuesto del vector completo
Para u=(2,−1) y v=(−3,4), calcula u−2v.
Escalar
2v=(−6,8).Opuesto
−2v=(6,−8).Sumar
u+(−2v)=(8,−9).
Resultado (8,−9).
El signo afecta a todas las componentes; la suma vectorial conserva las reglas en cada una.
Una operación artificial que no sirve
En ℝ² conserva la suma usual pero define α⋆v=α²v. ¿Forma espacio vectorial?
Regla que comprobamos
Debería cumplirse (α+β)⋆v=α⋆v+β⋆v.Tomar α=β=1 y v≠0
La izquierda es 4v; la derecha v+v=2v.Fallo
No son iguales, así que falla una de las distribuciones.
No es espacio vectorial con esas operaciones.
Que sus elementos sean pares de números no garantiza la estructura: las operaciones importan.
3. Un subespacio conserva cero, sumas y cualquier múltiplo escalar
Un subconjunto W de V es subespacio con las operaciones heredadas si contiene cero y es cerrado bajo suma y producto por escalares. Equivale a ser no vacío y conservar αu+βv para cualesquiera u,v∈W y escalares α,β.
Las ecuaciones lineales homogéneas conservan esas combinaciones: si una expresión lineal vale cero en u y v, también vale cero en αu+βv. Un desplazamiento que elimina el origen no es subespacio. Contener cero es necesario, pero por sí solo no basta.
Recta homogénea frente a recta desplazada
Compara y=2x con y=2x+1 en ℝ².
Primera
Sus vectores son (t,2t). Una combinación de dos tiene la misma forma y contiene t=0.
Segunda
El vector cero no cumple 0=2·0+1.Conclusión
La primera es subespacio; la segunda no.
La dirección compartida no iguala sus propiedades algebraicas.
La segunda es una recta afín: puede estudiarse como traslación de un subespacio, con otra descripción.
Contiene cero pero falla al sumar
W={(t,t²):t∈ℝ}. ¿Es subespacio?
Cero
Con t=0 se obtiene (0,0).Una suma
(1,1) está en W; sumarlo consigo mismo da (2,2).
Comprobar forma
Para primera componente dos, la segunda debería ser cuatro. (2,2) no está en W.
No es subespacio.
Una sola suma de dos elementos permitidos que salga del conjunto refuta el cierre universal.
4. Generar significa poder construir todo el conjunto pedido
span(v₁,…,vₖ) reúne todas las combinaciones α₁v₁+⋯+αₖvₖ. Es subespacio y el menor que contiene a esos vectores: cualquier subespacio que los contenga debe contener también sus combinaciones.
Para demostrar que generan V debemos representar un vector arbitrario de V. Verificar solo algunos ejemplos no demuestra cobertura. Puede haber generadores redundantes: si uno es combinación de otros, quitarlo no cambia el espacio generado.
Construir cualquier vector con dos instrucciones
Sea b₁=(1,0), b₂=(1,2). Expresa un vector arbitrario (x,y).
Segunda componente
Si usamos s b₁+t b₂=(s+t,2t), necesitamos t=y/2.Primera
s=x−t=x−y/2.Representación general
(x,y)=(x−y/2)b₁+(y/2)b₂.
Generan todo ℝ². En (3,4), los coeficientes son uno y dos.
La fórmula vale para x,y reales arbitrarios y es más fuerte que dibujar un único ejemplo.
Un generador que sobra
Estudia span((1,0),(0,1),(1,1)).
Redundancia
(1,1)=(1,0)+(0,1).Eliminar
Toda combinación con el tercero se puede reescribir usando solo los dos primeros.
Cobertura
Los dos primeros ya construyen (x,y)=x(1,0)+y(0,1).
El espacio generado es ℝ² y no cambia al quitar el tercero.
Generar no implica ser una base si hay instrucciones redundantes.
5. Independencia exige que la única combinación nula sea la trivial
Si aparece una relación con algún coeficiente no nulo, podemos despejar ese vector en función de los demás: hay dependencia y una instrucción sobra.
Una familia que contiene cero es dependiente. Dos vectores no nulos proporcionales también. Con tres o más, no basta comprobar que ninguna pareja sea proporcional: uno puede ser suma de otros sin ser múltiplo de uno solo.
Probar independencia de la construcción anterior
Usa b₁=(1,0), b₂=(1,2).
Combinación nula
s b₁+t b₂=(s+t,2t)=(0,0).Segunda componente
2t=0 implica t=0.Primera
s+t=0 obliga s=0.
Son independientes.
La prueba usa coeficientes arbitrarios, no solo una búsqueda de valores pequeños.
Sin parejas proporcionales y aun así dependientes
v₁=(1,0), v₂=(0,1), v₃=(1,1).
Parejas
Ninguno es múltiplo de otro.
Relación
v₁+v₂−v₃=0.Coeficientes
Uno, uno y menos uno no son todos cero.
La familia es dependiente.
La definición por una combinación nula detecta lo que el chequeo por parejas no alcanza.
6. Una base garantiza existencia y unicidad de coordenadas
Una base genera y es independiente. Generar da alguna representación de cada vector; independencia hace que sea única. Si dos listas de coeficientes construyeran el mismo vector, restarlas daría una relación nula. La independencia obliga a que sus coeficientes coincidan uno a uno.
El orden de la base determina el orden de las coordenadas. El vector no cambia al describirlo de otra manera. [v]_B son las instrucciones en B, mientras que sus componentes canónicas son instrucciones en la base usual.
La lista de coordenadas no es el vector en componentes usuales
En B=((1,0),(1,2)), escribe las coordenadas de (3,4).
Resolver
s+t=3 y 2t=4 dan t=2, s=1.Lista ordenada
[(3,4)]_B=(1,2).Reconstruir
1(1,0)+2(1,2)=(3,4).
Coordenadas (1,2) en B.
Intercambiar el orden de la base cambiaría la lista a (2,1), no el vector construido.
Coordenadas de un polinomio
En B=(1,x,x²), encuentra [2−3x+4x²]_B.
Coeficientes
Dos del primer vector, menos tres del segundo, cuatro del tercero.
Unicidad
Si a+bx+cx² fuese el polinomio cero, todos sus coeficientes serían cero.
Lista
(2,−3,4).
Es una base del espacio de polinomios de grado como mucho dos.
Cambiar el orden a (x²,1,x) cambiaría las coordenadas a (4,2,−3).
7. La dimensión cuenta vectores de una base, no componentes del espacio ambiente
En dimensión finita, una familia independiente no puede ser mayor que una familia que genera. El argumento de intercambio permite sustituir generadores por vectores independientes sin perder cobertura. Aplicado en ambos sentidos a dos bases, obliga a que tengan igual número de vectores: esa cantidad es la dimensión.
En dimensión n, n vectores independientes ya forman base; n generadores también. Podemos ampliar una familia independiente y reducir una generadora. El espacio {0} tiene dimensión cero y base vacía: la combinación vacía representa cero, mientras la familia {0} sería dependiente.
Una recta dentro de ℝ³
W=span((1,2,3)). ¿Cuál es su dimensión?
Genera por definición
Todos sus vectores son t(1,2,3).
Independencia
t(1,2,3)=0 obliga t=0 porque la primera componente vale t.Contar la base
Hay un solo vector en la base, así que dimW=1.
Dimensión uno, aunque sus vectores tengan tres componentes.
La dimensión del espacio ambiente es tres; no se confunde con la del subespacio.
Un espacio que no tiene base finita
¿Todos los polinomios reales tienen dimensión finita?
Una familia finita
Sus grados tienen algún máximo d.
Lo que genera
Toda combinación de esos polinomios tiene grado como mucho d.
Vector que falta
x^(d+1) es un polinomio permitido que no puede construirse con esa familia.
El espacio de todos los polinomios no es finito dimensional.
En cambio, restringir a grado como mucho dos sí da dimensión tres.
8. Las ecuaciones homogéneas se convierten en parámetros y luego en vectores
Para hallar una base de soluciones resolvemos el sistema, elegimos variables libres y agrupamos un vector por parámetro. La forma general prueba generación; leer las coordenadas libres suele probar independencia.
No contamos ecuaciones sin revisar si son independientes. Dos ecuaciones pueden expresar la misma restricción. El número de parámetros libres después de eliminar redundancias da la dimensión del espacio de soluciones.
Un plano con dos parámetros
Encuentra una base de x−2y+z=0 en ℝ³.
Despejar
x=2y−z.Agrupar
(x,y,z)=y(2,1,0)+z(−1,0,1).Independencia
En una combinación nula, la segunda componente anula el primer coeficiente y la tercera el segundo.
Base {(2,1,0),(−1,0,1)} y dimensión dos.
Los dos vectores cumplen la ecuación, y la forma general prueba que no falta ninguna solución.
Dos ecuaciones que solo restringen una vez
En ℝ³ usa x+y=0 y 2x+2y=0.
Redundancia
La segunda es dos veces la primera.
Parámetros
x=−y y z libre: (x,y,z)=y(−1,1,0)+z(0,0,1).Dimensión
Dos parámetros independientes, no uno.
La dimensión es dos.
Restar sin más número de ecuaciones a número de incógnitas daría una respuesta errónea si no comprobamos rango.
9. Intersección, unión y suma son construcciones diferentes
W∩U conserva simultáneamente las pertenencias a dos subespacios y es subespacio. W∪U contiene lo que está en uno o en otro, pero puede no ser cerrado bajo suma. W+U={w+u:w∈W,u∈U} sí es subespacio y contiene todas las combinaciones entre ambos.
En dimensión finita, dim(W+U)=dimW+dimU−dim(W∩U). Al juntar generadores, restamos la información compartida contada dos veces. Si la intersección es {0}, cada descomposición w+u es única y hablamos de suma directa.
Dos ejes
W=eje x y U=eje y en ℝ². Compara unión y suma.
Unión
Contiene (1,0) y (0,1), pero no su suma (1,1); no es subespacio.
Suma
(x,y)=(x,0)+(0,y), así que W+U=ℝ².Intersección
Solo cero; las dos coordenadas dan una descomposición única.
La suma tiene dimensión dos; la unión no es un espacio vectorial con estas operaciones.
La unión no permite mezclar vectores; la suma sí incluye esas mezclas.
Dos planos con una recta compartida
En ℝ³, W=span(e₁,e₂) y U=span(e₂,e₃).
Intersección
Son los múltiplos de e₂: dimensión uno.
Suma
Juntos construyen e₁,e₂,e₃: todo ℝ³.
Fórmula
2+2−1=3.
La dirección compartida se cuenta una sola vez.
No es suma directa porque un múltiplo de e₂ se puede distribuir de varias maneras entre W y U.
10. Una respuesta de base debe probar pertenencia, generación e independencia
Mostrar que los candidatos cumplen una ecuación solo comprueba pertenencia. También debemos representar cualquier vector permitido y demostrar que ninguna combinación nula no trivial sobra. Indicamos espacio, cuerpo y orden si se van a dar coordenadas.
Para comprobar coordenadas, reconstruimos el vector con sus coeficientes. Para comprobar una dimensión de soluciones, contrastamos con parámetros libres o rango. Las verificaciones numéricas acompañan la prueba general, sin reemplazarla.
Un candidato válido que no genera todo
Para el plano z=0 en ℝ³, alguien propone la base {(1,0,0)}.
Pertenencia
El candidato sí pertenece al plano.
Vector que falta
(0,1,0) también pertenece, pero no es múltiplo del candidato.
Reparar
Añadir (0,1,0) da dos generadores independientes del plano.
La propuesta inicial era incompleta.
Pertenecer e incluso ser independiente no implica generar todo el espacio pedido.
Revisar una lista de coordenadas
En B=((1,0),(1,2)), alguien escribe [(3,4)]_B=(3,4).
Reconstruir esa propuesta
3(1,0)+4(1,2)=(7,8).Comparar
No recupera el vector (3,4).
Corregir
Los coeficientes uno y dos sí lo recuperan.
Las componentes usuales no se copian como coordenadas en una base diferente.
La independencia de B garantiza que, una vez reconstruido correctamente, no hay otra lista válida distinta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un plano como subespacio
Encuentra una base de x+y+z=0 en R³.
Subespacio
x+y+z=0 es homogénea; cero y toda combinación de soluciones vuelven a cumplirla.
Despejar
x=−y−z, con y,z reales libres.Forma general
(x,y,z)=y(−1,1,0)+z(−1,0,1).Esto prueba generación.
Pertenencia
Cada generador tiene suma de componentes cero.
Independencia
a(−1,1,0)+b(−1,0,1)=0 obliga a=0 por la segunda coordenada y b=0 por la tercera.
Conclusión
Forman una base y la dimensión es dos, el número de parámetros libres.
Base {(−1,1,0),(−1,0,1)}; dimensión 2.
La ecuación restringe una coordenada y deja dos parámetros libres; coincide con la base obtenida y no con la dimensión tres del espacio ambiente.
EJEMPLO RESUELTO 2
Coordenadas distintas
Expresa (3,1) en la base B=((1,1),(1,−1)).
Orden de B
Buscamos a(1,1)+b(1,−1)=(3,1).Componentes
a+b=3 y a−b=1.Sumar
2a=4, así que a=2.Sustituir
2+b=3, de donde b=1.Coordenadas
[(3,1)]_B=(2,1).Reconstruir
2(1,1)+(1,−1)=(3,1).El sistema homogéneo solo admite coeficientes cero, así que la representación es única.
Coordenadas (2,1) en B.
El sistema homogéneo a+b=0, a−b=0 solo admite a=b=0, lo que confirma que las dos direcciones forman una base.
Los símbolos que hemos usado
- V, F
- Espacio de vectores y cuerpo de escalares, aquí R o C.
- 0
- Vector cero del espacio; no tiene por qué ser un número aislado.
- αv+βw
- Combinación lineal de vectores con escalares α y β.
- span{v₁,…,v_k}
- Conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores indicados.
- B=(b₁,…,b_n)
- Base ordenada usada para definir coordenadas.
- [v]_B
- Lista de coeficientes de v en la base B.
- dim V
- Número de vectores de cualquier base cuando V es de dimensión finita.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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