EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Distancia de (3,4) al eje x.
- PISTA 1
Una pista
La proyección es (3,0).
Un desarrollo posible.
La proyección de (3,4) sobre el eje x es (3,0).
El residuo es (3,4)−(3,0)=(0,4), perpendicular al eje.
Su norma es √(0²+4²)=4, la distancia solicitada.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Producto escalar de (1,2) y (3,−1).
- PISTA 1
Una pista
Multiplica componentes y suma.
Un desarrollo posible.
El producto escalar usual multiplica componentes correspondientes y suma.
Calculamos 1·3+2·(−1)=3−2.
El resultado es 1, así que los vectores no son ortogonales.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Norma de (1,2,2).
- PISTA 1
Una pista
Suma cuadrados y extrae raíz.
Un desarrollo posible.
La norma es la raíz de la suma de cuadrados.
Para (1,2,2) el cuadrado es 1²+2²+2²=1+4+4=9.
La raíz no negativa es 3.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba el teorema de Pitágoras para vectores ortogonales.
- PISTA 1
Una pista
Desarrolla ‖u+v‖².
Un desarrollo posible.
En el espacio real, ‖u+v‖²=⟨u+v,u+v⟩.
Al distribuir se obtiene ‖u‖²+2⟨u,v⟩+‖v‖².
Si u⊥v, el producto cruzado es cero y queda ‖u+v‖²=‖u‖²+‖v‖².
En complejos se anula igualmente la parte real del término cruzado.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Justifica por qué la proyección minimiza la distancia al subespacio.
- PISTA 1
Una pista
Separa v−w en dos vectores ortogonales.
Un desarrollo posible.
Sea p la proyección y w cualquier vector del subespacio.
Descomponemos v−w=(v−p)+(p−w).
v−p es perpendicular al subespacio y p−w pertenece a él; por tanto son ortogonales.
Pitágoras da ‖v−w‖²=‖v−p‖²+‖p−w‖²≥‖v−p‖², con igualdad solo si w=p.
Así p es el minimizador único.