Productos interiores y proyecciones ortogonales

En un espacio real, ⟨u,v⟩ es bilineal, simétrico y definido positivo: ⟨v,v⟩>0 si v≠0. En ℝⁿ el usual es Σuᵢvᵢ. El resultado es un escalar, no un vector; esa diferencia determina cómo interpretamos cada fórmula.

Podemos elegir otros productos, como uᵀGv con G simétrica definida positiva. La elección cambia longitudes, ortogonalidad y proyecciones. Una matriz simétrica cualquiera no basta: la positividad es lo que permite llamar longitud al cuadrado a ⟨v,v⟩.

En el caso real y v≠0, elegir c=⟨u,v⟩/‖v‖² en 0≤‖u−cv‖² deja ‖u‖²−⟨u,v⟩²/‖v‖²≥0, que demuestra la desigualdad.

De ella sale la desigualdad triangular al desarrollar ‖u+v‖² y acotar el término cruzado. Para vectores reales no nulos, cosθ=⟨u,v⟩/(‖u‖‖v‖) queda entre −1 y uno. Con un vector cero no definimos el ángulo por esta fórmula, aunque cero sea ortogonal a todos.

Si ⟨u,v⟩=0, al desarrollar ‖u+v‖² desaparecen los dos términos cruzados y queda ‖u‖²+‖v‖²: Pitágoras. Una familia ortogonal no nula es independiente: tomar producto de una combinación nula con cada vector deja su coeficiente por una norma cuadrada positiva.

Ortonormal añade que todas las normas son uno. En una base ortonormal, el coeficiente sobre eⱼ es simplemente ⟨v,eⱼ⟩. Una familia solo ortogonal sigue necesitando dividir por cada norma cuadrada.

El denominador es positivo. Después multiplicamos por w: el coeficiente c no es todavía el vector proyección.

Podemos normalizar w antes de calcular, pero no es obligatorio. Si no lo hacemos, no omitimos el denominador. La perpendicularidad se entiende con el producto interior que hayamos elegido, no siempre con el dibujo euclídeo usual.

El residuo r=v−p es perpendicular a cada eⱼ y por tanto a todo W.

En dimensión finita la descomposición existe y es única. Si hubiera dos, su diferencia pertenecería a W y W⊥ a la vez; tomar producto consigo misma daría norma cero. En dimensión infinita, una afirmación general de existencia necesita condiciones adicionales, como subespacio cerrado en un espacio de Hilbert.

El primer sumando es perpendicular a W y el segundo pertenece a W.

El último término es no negativo y solo vale cero si q=p. Esto prueba mínimo y unicidad para cualquier subespacio donde exista la proyección, no solo para una recta dibujada. No se escoge p por intuición visual sin comprobar esas dos condiciones.

Partimos de una familia independiente ordenada. Normalizamos el primero. Para cada vector siguiente, restamos sus proyecciones sobre los e anteriores y normalizamos el residuo. Se conserva el espacio generado y la dirección nueva queda perpendicular a las ya construidas.

La independencia garantiza que el residuo no sea cero. Si la familia inicial es dependiente, puede aparecer cero: se omite esa dirección redundante, no se divide por su norma. Cada paso debe indicar sobre qué familia ya ortonormal se está proyectando.

Si los wⱼ son solo ortogonales, cada término es ⟨v,wⱼ⟩wⱼ/‖wⱼ‖². Si la base no es ortogonal, buscamos p=Ac, con los vectores como columnas de A, y exigimos Aᵀ(v−Ac)=0.

La matriz de Gram AᵀA es definida positiva si las columnas son independientes: cᵀAᵀAc=‖Ac‖²>0 para c≠0. Por eso podemos resolver. Numéricamente una factorización ortogonal puede ser preferible a formar ecuaciones normales; la identidad teórica no decide por sí sola el algoritmo más estable.

Fijamos ⟨u,v⟩=Σuᵢconjugado(vᵢ), lineal en el primer argumento y conjugado lineal en el segundo.

Con esta convención c=⟨v,w⟩/⟨w,w⟩ sigue siendo el coeficiente de proyección.

Otras fuentes eligen linealidad en el segundo argumento y cambian el orden de los productos en la fórmula. Debemos mantener una convención. En las ecuaciones normales complejas A* sustituye a Aᵀ, con * traspuesta conjugada.

Una proyección candidata p debe estar en W y v−p debe ser perpendicular a una base de W. Ambas condiciones aseguran la descomposición y el mínimo. Un residuo pequeño, por sí solo, no demuestra nada de eso.

Después de Gram–Schmidt revisamos normas uno, productos cruzados cero y conservación del espacio generado. En cuentas decimales, casi dependencia produce residuos pequeños y requiere tolerancias; no se fuerzan nuevas direcciones dividiendo por números insignificantes sin evaluar la estabilidad.