EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Norma L² de la función 1 en [0,4].
- PISTA 1
Una pista
Raíz de su integral cuadrática.
Un desarrollo posible.
- En L²([0,4]),‖f‖₂=√∫₀⁴|f(t)|²dt.
- Para f=1, la integral es∫₀⁴1dt=4.
- La norma es√4=2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Error de proyección del ejemplo x=(1,2,3,0,…) sobre los dos primeros ejes.
- PISTA 1
Una pista
Norma del residuo.
Un desarrollo posible.
- La proyección elimina la tercera coordenada y deja p=(1,2,0,…).
- El residuo es x−p=(0,0,3,0,…).
- Su normaℓ² es√9=3, que es el error mínimo.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Sea v=e₁+e₂+e₃, con e₁, e₂ y e₃ ortonormales. Halla la norma de v al cuadrado.
- PISTA 1
Una pista
Suma cuadrados.
Un desarrollo posible.
La familia es ortonormal y el vector tiene las componentes indicadas.
Por Pitágoras, la norma cuadrada suma los módulos cuadrados de sus coeficientes.
- 1²+1²+1²=3; se pide la norma cuadrada, no su raíz.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Deriva la desigualdad de Bessel para una familia ortonormal finita.
- PISTA 1
Una pista
Resta la proyección y usa positividad.
Un desarrollo posible.
Para una familia ortonormal finita, sea p=Σ⟨x,eᵢ⟩eᵢ.
El residuo x−p es ortogonal a cada eᵢ y, por tanto, a p.
- Pitágoras da‖x‖²=‖x−p‖²+Σ|⟨x,eᵢ⟩|².
La norma cuadrada del residuo es no negativa; de aquíΣ|⟨x,eᵢ⟩|²≤‖x‖².
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica la diferencia entre familia ortonormal y base ortonormal.
- PISTA 1
Una pista
La segunda debe ser completa.
Un desarrollo posible.
Una familia ortonormal solo exige vectores unitarios y perpendiculares dos a dos.
Puede dejar vectores no nulos ortogonales a todos sus miembros, por lo que no reconstruye todo el espacio.
Una base ortonormal exige además span denso, equivalente a no dejar ese complemento ortogonal.
Con una base numerable, todo vector se reconstruye por su serie de coeficientes con convergencia en norma.