Espacios de Hilbert y bases ortogonales

En un espacio real es bilineal, simétrico y positivo definido. En uno complejo fijamos linealidad en el primer argumento: ⟨αx, y⟩=α⟨x, y⟩ y ⟨x, αy⟩=ᾱ⟨x, y⟩; además ⟨x, y⟩ es el conjugado de ⟨y, x⟩.

Si y≠0, restar [⟨x, y⟩/‖y‖²]y deja un vector perpendicular a y; la positividad de su norma cuadrada da ‖x‖²−|⟨x, y⟩|²/‖y‖²≥0.

Al desarrollar ‖x+y‖² y acotar su término cruzado por Cauchy–Schwarz obtenemos la triangular de la norma.

Un espacio con producto interior se llama prehilbertiano. Es Hilbert si toda Cauchy de la norma inducida tiene límite dentro. Rⁿ, Cⁿ, ℓ² y L² son ejemplos. c₀₀ con producto euclídeo infinito restringido tiene esa geometría, pero no es completo: sus truncaciones pueden escapar al límite de soporte infinito.

En ℓ², ⟨x, y⟩=Σxⱼȳⱼ; Cauchy–Schwarz aplicada a sumas finitas y luego al límite garantiza convergencia absoluta. En L², ⟨f, g⟩=∫f ḡ y los elementos son clases de funciones iguales casi en todas partes. El producto y la norma deben depender de la clase, no de una elección arbitraria de valores en puntos aislados.

Al expandir ‖x+y‖² desaparecen los dos términos cruzados: ‖x+y‖²=‖x‖²+‖y‖². El mismo razonamiento vale para familias ortogonales finitas. La norma no decide por sí sola un ángulo euclídeo si no procede de un producto interior.

Una norma inducida satisface la ley del paralelogramo: ‖x+y‖²+‖x−y‖²=2‖x‖²+2‖y‖². Esa condición también es suficiente para reconstruir un producto por polarización. En el caso real la fórmula es ⟨x, y⟩=[‖x+y‖²−‖x−y‖²]/4; en el complejo se añade i[‖x+iy‖²−‖x−iy‖²]/4 con nuestra convención. La caracterización no dice que cualquier norma cumpla la ley.

Como el punto medio está en M, su distancia es al menos d; la cota resultante tiende a cero.

Así pₙ es Cauchy, converge por completitud y su límite p pertenece a M por cierre.

Variar p por tv, v∈M y t real, obliga a que Re⟨x−p, v⟩=0 al minimizar la expresión cuadrática. En complejos se repite con iv para anular también la parte imaginaria. El residuo queda perpendicular a todo M.

Nadie mejora el primer término y solo v=p anula el segundo. Esto prueba simultáneamente optimalidad y unicidad.

Sumar o escalar descomposiciones demuestra que P_M es lineal.

Si M no es cerrado, un ínfimo cero puede no alcanzarse; ese es precisamente el fallo que el teorema evita.

Una familia de vectores no nulos es ortogonal cuando sus productos mutuos son cero; es ortonormal si además cada norma es uno.

El denominador desaparece solo si v ya tiene norma uno.

Gram–Schmidt toma un vector, resta sus componentes sobre las direcciones ortonormales anteriores y normaliza el residuo. Si el residuo es cero, el vector era dependiente de las direcciones previas y se descarta. No se divide por cero. En cada paso se conserva el subespacio generado por los vectores tratados.

Esta es la desigualdad de Bessel: la suma de cuadrados capturados no supera el total.

Para una familia numerable, esas sumas de cuadrados crecen y están acotadas por ‖x‖², así convergen. Por ortogonalidad, ‖p_M−p_N‖² es la cola de esa serie, que tiende a cero. La completitud produce un límite y de las proyecciones, aunque la familia no sea completa; en ese caso puede quedar x−y distinto de cero.

Una familia ortonormal es completa si el cierre de su span es H. Equivalentemente, el único vector ortogonal a todos sus miembros es cero: la proyección sobre ese span cerrado deja un residuo ortogonal, y la ausencia de ese residuo obliga a llenar H.

Para una familia completa numerable, el límite y de las sumas p_N conserva los coeficientes de x; x−y queda ortogonal a todos y debe ser cero.

En un Hilbert separable hay una base ortonormal finita o numerable. No es una base de Hamel: la representación puede necesitar infinitos términos, mientras Hamel usa combinaciones finitas.

La integral controla error cuadrado total, no el error máximo ni el valor en cada punto. Una expansión ortonormal completa garantiza esa modalidad de convergencia; para afirmar otra hacen falta hipótesis o teoremas adicionales.

Los ejemplos siguientes estudian lo que la convergencia L² por sí sola permite concluir. No pretenden negar resultados más fuertes para sistemas particulares de Fourier bajo sus hipótesis. Además los valores puntuales dependen de representantes; las integrales y los productos interiores sí son propios de las clases.