Norma uno de (−2,3,−4).
Suma valores absolutos.
La norma uno suma módulos, no las coordenadas con sus signos.
Los módulos de−2,3,−4 son2,3,4.
Norma infinito de (−2,3,−4).
Máximo de valores absolutos.
La norma infinito toma el máximo de los módulos.
Los módulos son2,3,4.
El máximo es4, por lo que la norma es4.
Distancia supremo entre funciones constantes 2 y 5 en [0,1].
Norma de la diferencia.
La distancia supremo entre f y g es‖f−g‖∞.
Para las constantes2 y5, la diferencia es−3 en todos los puntos.
Su módulo es3 y el supremo también es3.
Prueba que toda sucesión de Cauchy es acotada en un normado.
Usa ε=1 y separa cola e inicio finito.
Como la sucesión es de Cauchy, existe N tal que‖xₙ−x_N‖<1 para n≥N.
La desigualdad triangular da‖xₙ‖≤‖x_N‖+1 para toda esa cola.
El comienzo x₁,…,x_N tiene un máximo finito de normas.
El máximo entre esa cantidad y‖x_N‖+1 acota todos los términos.
Explica por qué un subespacio cerrado de Banach es Banach.
Sucesiones de Cauchy convergen en el ambiente.
Sea M un subespacio cerrado de un Banach X y una sucesión de Cauchy en M.
Con la norma heredada también es de Cauchy en X, por lo que converge a algún x de X.
Ser M cerrado obliga a que el límite x pertenezca a M.
La convergencia conserva la misma norma, así M es completo y, por tanto, Banach.