Espacios normados y espacios de Banach

En un espacio vectorial real o complejo, una norma cumple: ‖x‖≥0 y solo vale cero para x=0; ‖αx‖=|α|‖x‖; ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖. La segunda es homogeneidad absoluta y la tercera es la desigualdad triangular. El cero tiene norma cero; un vector no nulo tiene norma positiva.

Mide cuánto puede cambiar el tamaño cuando cambiamos el vector. Comprobar ejemplos ayuda, pero los axiomas deben cumplirse para todos los vectores y escalares.

La definitud da distancia cero solo si x=y; multiplicar por −1 da simetría y la triangular de la norma da la de la distancia.

La triangular inversa hace continua la función norma.

Estas cotas justifican continuidad de suma y producto por escalares.

Todas son normas, pero no asignan el mismo número. El dibujo muestra las bolas de radio uno en R²: rombo, círculo y cuadrado, respectivamente.

Se cumple ‖x‖∞≤‖x‖₂≤‖x‖₁; Cauchy–Schwarz da ‖x‖₁≤√n‖x‖₂ y sumar n cuadrados acotados da ‖x‖₂≤√n‖x‖∞. Las constantes dependen de n. Una afirmación válida para una dimensión fija no autoriza usar la misma constante en todas las dimensiones.

Una sucesión es de Cauchy si para cada ε>0 existe N con ‖xₙ−xₘ‖<ε cuando n, m≥N. Toda convergente lo es: si ambos términos están a menos de ε/2 de su límite, están a menos de ε entre sí. El recíproco define la completitud: un normado completo se llama Banach.

Toda sucesión de Cauchy es acotada. Se toma una cola con ‖xₙ−x_N‖<1, de modo que ‖xₙ‖≤‖x_N‖+1; los términos anteriores son finitos y sus normas tienen un máximo. Estar acotado no basta para ser Cauchy: no fuerza que los términos tardíos se acerquen.

Rⁿ y Cⁿ son Banach con cualquier norma. También C([a, b]) con ‖f‖∞=sup|f|: la condición de Cauchy controla todos los puntos a la vez. Una convergencia solo puntual no proporciona por sí sola ese control ni continuidad del límite.

ℓᵖ, 1≤p<∞, contiene sucesiones con Σ|xⱼ|ᵖ<∞ y norma de esa suma elevada a 1/p; ℓ∞ contiene las acotadas con norma supremo. Son Banach. Lᵖ también es completo, identificando funciones iguales casi en todas partes: sin esa identificación una función que solo cambia en un punto podría tener distancia cero a otra diferente.

Completitud no significa que una fórmula límite pueda escribirse en algún lugar: exige que pertenezca al espacio original y que la convergencia sea en su norma. Un subespacio de un Banach no tiene que ser Banach si deja fuera algunos límites.

Los polinomios en [0,1] con norma supremo y las sucesiones de soporte finito c₀₀ con norma ℓ² ofrecen dos ejemplos. Las sumas parciales son objetos permitidos, pero sus límites naturales ya no son polinomios o ya no tienen soporte finito. Las distancias entre aproximaciones sí se hacen pequeñas.

Si M es cerrado en un Banach X, una Cauchy de M converge en X y su límite permanece en M: M es Banach. Recíprocamente, si M es completo y una sucesión de M converge en el ambiente a x, también es Cauchy y tiene un límite en M; la unicidad obliga a que sea x.

Por tanto M es cerrado.

Una completación de X es un Banach que contiene una copia isométrica y densa de X. Se puede construir con clases de sucesiones de Cauchy: dos son equivalentes si la norma de su diferencia tiende a cero. La triangular inversa hace bien definida la norma de la clase como límite de normas.

La copia de un vector es su sucesión constante; no cambian sus distancias originales.

Dos normas son equivalentes si c‖x‖ₐ≤‖x‖ᵦ≤C‖x‖ₐ con c, C>0 fijos para todo x. Aplicar las cotas a diferencias conserva convergencia, Cauchy y completitud. En dimensión finita toda norma N se compara con la euclídea: la triangular sobre una base da N(x)≤C‖x‖₂, así N es continua en esa geometría.

En la esfera euclídea compacta, N alcanza un mínimo positivo c; escalar da la otra cota.

En dimensión infinita la esfera no tiene esa compacidad general. En C([0,1]), ‖f‖₁=∫|f|≤‖f‖∞, pero no hay una cota inversa con constante positiva uniforme: el área de un pico estrecho puede tender a cero sin bajar su altura. Esta norma integral sí es una norma sobre funciones continuas, porque una función continua no nula tiene valor absoluto positivo en un pequeño intervalo.

En un normado, un compacto es cerrado y acotado. En dimensión finita la recíproca es cierta. En dimensión infinita puede fallar incluso para una bola cerrada de un Banach: completitud obliga a converger a las Cauchy, mientras compacidad exige una subsucesión convergente de toda sucesión del conjunto.

Una sucesión que mantiene sus términos separados no es Cauchy. Si además todas sus subsucesiones mantienen esa separación, no puede extraerse ninguna convergente. Ese criterio detecta directamente por qué la bola unidad infinita puede no ser compacta, sin contradecir que el espacio sea completo.