Norma de φ(x)=7x en R usual.
Supremo sobre |x|≤1.
Norma del funcional cero.
Todas las imágenes son cero.
El funcional cero envía todos los vectores al escalar0.
Sobre la bola unidad, todos los módulos de sus valores son0.
Su supremo es0; por tanto la norma dual es0.
Norma de f↦∫₀¹f con norma supremo.
Acota por longitud y prueba constante uno.
Para f continua,|∫₀¹f|≤∫₀¹|f|≤‖f‖∞ porque el intervalo tiene longitud1.
Esta desigualdad da norma del funcional como máximo1.
Así la norma es1.
Prueba que lineal acotado implica continuo.
Aplica la cota a una diferencia.
Si C>0, elegirδ=ε/C prueba continuidad; si C=0 el funcional es cero y la continuidad es inmediata.
¿La evaluación puntual está bien definida sobre L² de Lebesgue?
Recuerda que sus elementos son clases casi en todas partes.
Los elementos de L² de Lebesgue son clases de funciones iguales casi en todas partes.
Cambiar el valor de un representante solo en un punto no cambia su clase L².
Pero ese cambio sí altera su evaluación puntual.
Por tanto la evaluación no depende solo del elemento L² y no define un funcional en ese espacio.