Funcionales continuos y espacios duales

Su salida es un escalar; una aplicación lineal hacia otro espacio vectorial más general se llama operador. Linealidad no significa automáticamente continuidad en dimensión infinita.

El dual algebraico contiene todos los funcionales lineales. El dual continuo X* conserva solo los continuos para la norma elegida. En dimensión finita todos los lineales son continuos; en dimensión infinita puede haber mediciones lineales no controladas por esa norma. Antes se comprueba que la fórmula esté definida para cada vector del dominio.

Basta también continuidad en cero: si ‖u‖<δ implica |φ(u)|<1, escalamos cualquier x≠0 a u=δx/(2‖x‖).

Así continuidad en cero, continuidad en todo punto y acotación lineal global son equivalentes. Una cota en una bola se transforma en cota global por homogeneidad; no sería un argumento válido para cualquier función no lineal. Acotado aquí significa acotado en la bola unidad, no imagen acotada de todo el espacio.

Probar una desigualdad solo da una cota superior; para igualdad buscamos un vector unitario que la alcance o una sucesión que se aproxime al supremo.

En dimensión infinita ese supremo puede no alcanzarse. En dimensión finita la bola unidad compacta y la continuidad sí permiten alcanzarlo. La norma del dominio es parte de los datos: una misma fórmula lineal puede tener una norma dual distinta al cambiar la geometría de su bola.

En C([0,1]) con norma supremo, φ(f)=f(0) está bien definida y |f(0)|≤‖f‖∞. Con norma integral en el mismo conjunto de continuas, sigue siendo una fórmula lineal bien definida, pero pierde esa cota: un pico en cero puede tener altura fija y área muy pequeña.

En L² de Lebesgue la situación es diferente: sus vectores son clases casi en todas partes. Si dos representantes dan valores distintos en cero, la fórmula no asigna un escalar único al vector. No es solamente una pregunta de continuidad; antes falla la definición. Otras mediciones, como integrales apropiadas, sí dependen de la clase.

Sea φₙ Cauchy en norma dual. Para cada x, |φₙ(x)−φₘ(x)|≤‖φₙ−φₘ‖‖x‖ hace Cauchy a sus valores escalares; su límite define φ(x). Linealidad pasa al límite. Como las normas de una Cauchy están acotadas por algún R, |φ(x)|≤R‖x‖ y el límite es continuo.

La cota uniforme de Cauchy también sobrevive al hacer m→∞: |φₙ(x)−φ(x)|≤ε‖x‖ para n suficientemente grande y todos los x.

No se necesitó que X fuera completo, solo que R o C lo sean. Una mera convergencia punto a punto no permite ese paso uniforme.

Con producto interior lineal en el primer argumento, Riesz afirma que cada φ∈H* tiene un único y∈H con φ(x)=⟨x, y⟩.

Para ver la existencia cuando φ≠0, su núcleo M es cerrado. Elegimos u fuera del núcleo y z=u−P_Mu, no nulo y perpendicular a M.

La diferencia de dos representantes sería perpendicular a todo H y, en particular, a sí misma, así es cero.

La representación mantiene la linealidad de φ respecto a x; no se eliminan conjugaciones para identificar informalmente H y H* como aplicaciones lineales.

Si φ es lineal y acotado en un subespacio M de un normado X, Hahn–Banach garantiza una extensión a todo X con la misma norma. No se exige que M sea cerrado ni X completo. El resultado vale sobre reales y complejos. La extensión puede no ser única: conservar la cota no siempre determina las direcciones nuevas.

Una consecuencia útil detecta el tamaño de cualquier x≠0.

Junto a la cota de norma dual se obtiene ‖x‖=sup_{‖φ‖≤1}|φ(x)|. El paso de cualquier subespacio a todo X es el contenido del teorema; los ejemplos muestran por qué no debe añadirse unicidad.

Para 1≤p<∞, el dual de ℓᵖ se representa por φ_a(x)=Σaₙxₙ, con a∈ℓᑫ y 1/p+1/q=1; para p=1 se usa q=∞.

La cota óptima se obtiene con vectores proporcionales a las potencias apropiadas de |aₙ| en bloques finitos y luego por aproximación.

En sentido inverso, los valores φ(eₙ) dan esos coeficientes; aplicar la cota a bloques finitos fuerza su pertenencia a ℓᑫ y la densidad de las truncaciones en ℓᵖ recupera φ en todo el espacio. Para p=1, basta ver |φ(eₙ)|≤‖φ‖ y usar suma absoluta. No se extrapola esta conclusión a p=∞: su dual contiene más funcionales que las sumas con coeficientes ℓ¹.

La representación escrita usa coeficientes aₙ sin conjugarlos. En un Hilbert complejo, el representante de Riesz tendría coordenadas conjugadas de aₙ; ambas descripciones son compatibles si se mantiene la convención.

Es lineal y continuo en φ, con ‖J(x)‖≤‖x‖; la consecuencia de Hahn–Banach anterior da la igualdad. Así J identifica isométricamente X con un subespacio de X**. X es reflexivo si J es sobreyectiva.

La recíproca falla. Comprobar unas pocas coordenadas no basta por sí solo: hay que cubrir todos los funcionales del dual del espacio concreto.