EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Autovalor de e₄ para Teₙ=eₙ/n.
- PISTA 1
Una pista
Sustituye n=4.
Un desarrollo posible.
- La definición del operador da Teₙ=(1/n)eₙ.
- Para n=4 resulta Te₄=(1/4)e₄.
- Como e₄≠0, su autovalor es1/4.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Distancia entre e₁ y e₂ en ℓ².
- PISTA 1
Una pista
Usa ortogonalidad.
Un desarrollo posible.
Los vectores e₁ y e₂ son unitarios y ortogonales.
- Pitágoras da‖e₁−e₂‖²=‖e₁‖²+‖e₂‖²=2.
La distancia es la raíz no negativa√2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Norma de Teₙ=eₙ/n en ℓ².
- PISTA 1
Una pista
Máximo de 1/n.
Un desarrollo posible.
- Para todo x,Σ|xₙ|²/n²≤Σ|xₙ|², así‖Tx‖≤‖x‖ y‖T‖≤1.
- El vector e₁ es unitario y Te₁=e₁.
- Por tanto‖T‖≥1 y la norma es1.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Prueba que autovectores de autoadjunto con autovalores distintos son ortogonales.
- PISTA 1
Una pista
Compara ⟨Tx,y⟩ y ⟨x,Ty⟩.
Un desarrollo posible.
- Sean Tx=λx y Ty=μy con x,y no nulos.
La autoadjunción asegura que λ y μ son reales.
- La identidad⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩ se convierte enλ⟨x,y⟩=μ⟨x,y⟩.
- Así(λ−μ)⟨x,y⟩=0.
- Comoλ≠μ, necesariamente⟨x,y⟩=0, es decir,x⊥y.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica por qué un operador de rango finito es compacto.
- PISTA 1
Una pista
Las imágenes acotadas viven en dimensión finita.
Un desarrollo posible.
En esta lección los operadores se suponen lineales y acotados; esa última hipótesis es necesaria.
La imagen de una sucesión acotada sigue acotada y se encuentra en el rango de dimensión finita.
Bolzano–Weierstrass da una subsucesión de imágenes convergente; un subespacio finito dimensional es cerrado.
Ese criterio secuencial demuestra que el operador es compacto.