Operadores compactos y autoadjuntos

Un operador lineal acotado T: X→Y es compacto si la imagen de cada conjunto acotado tiene clausura compacta. En normados, equivale a que de cualquier sucesión acotada xₙ se pueda extraer una subsucesión tal que Txₙⱼ converja en norma. La definición no pide que las entradas de esa subsucesión converjan.

Relativamente compacto significa compacto después de tomar clausura. La imagen de un conjunto acotado no tiene por qué ser cerrada. Unas pocas sucesiones favorables no prueban compacidad: el requisito cubre toda sucesión acotada. Para refutarla, en cambio, una sola sucesión cuyas imágenes no tengan subsucesión convergente basta.

Si T es acotado y de rango finito, las imágenes acotadas viven en un subespacio finito dimensional, donde cerrado y acotado implica compacto. Ese subespacio es completo y cerrado en el codominio normado. Esto prueba compacidad sin exigir dimensión finita del dominio.

Si el codominio es Banach, un límite en norma de operadores compactos sigue siendo compacto. Dado ε, se elige K compacto con ‖T−K‖<ε/3; una cubierta finita de K de la bola unidad por bolas de radio ε/3 cubre T de esa bola con radios menores que ε.

Así su imagen es totalmente acotada; la completitud convierte su clausura en compacta. Convergencia solo en cada vector no da ese control uniforme.

En un Hilbert de dimensión infinita se puede elegir una sucesión ortonormal eₙ.

Ninguna subsucesión es Cauchy, así ninguna converge en norma. La identidad conserva esa separación y no es compacta.

En dimensión finita toda aplicación lineal es continua y compacta. Además componer un compacto con un operador acotado, por cualquiera de los dos lados compatibles, mantiene compacidad: se conserva acotación antes o convergencia después. Por eso un compacto no puede tener inversa acotada en todo un Hilbert infinito: su composición produciría una identidad compacta.

Con producto interior lineal en el primer argumento, el adjunto de T acotado se define por ⟨Tx, y⟩=⟨x, T*y⟩. Para cada y, Riesz representa el funcional x↦⟨Tx, y⟩ y determina T*y. Es lineal y acotado, con ‖T*‖=‖T‖, como se ve tomando supremos unitarios de |⟨Tx, y⟩|.

En una base ortonormal real, la matriz adjunta es la traspuesta; en una compleja es la traspuesta conjugada. La fórmula de matriz depende de usar ese producto y base: una matriz en coordenadas no ortonormales requiere incorporar la geometría del producto.

Si Tx=λx, x≠0, entonces ⟨Tx, x⟩=⟨x, Tx⟩ es su propio conjugado y por tanto real.

La prueba tiene contenido adicional sobre complejos; no se confunde con que un operador cualquiera tenga autovalores reales.

Si Tx=λx y Ty=μy, la identidad del adjunto da λ⟨x, y⟩=μ⟨x, y⟩ porque λ, μ son reales.

Si coinciden, la identidad no exige ortogonalidad, aunque dentro de cada autoespacio se pueden elegir vectores ortonormales.

La autoadjunción permite valores negativos: es simetría, no una afirmación de signo. Tampoco un compacto tiene por qué ser autoadjunto.

Un operador no autoadjunto puede tener muy pocos autovectores para describir su acción. El teorema de diagonalización ortogonal del apartado siguiente necesita ambas hipótesis: compacidad y autoadjunción. Las comprobamos por separado en lugar de inferir una a partir de la otra.

Para T compacto autoadjunto, el teorema espectral afirma H=ker(T)⊕clausura del span de sus autoespacios no nulos. Estos son de dimensión finita y ortogonales entre sí. Los autovalores no nulos son a lo sumo numerables y su único punto posible de acumulación es cero. Elegir bases ortonormales en esas partes da una base de autovectores; el núcleo puede tener dimensión infinita.

La descomposición completa es el contenido del teorema espectral, que aquí se enuncia. Sí podemos demostrar directamente las restricciones de tamaño: infinitos autovectores ortonormales con |λ|≥ε tendrían imágenes a distancia al menos √2ε y violarían compacidad. Así, para cada ε>0 solo hay finitos contando multiplicidades; la unión sobre ε=1/k es numerable y solo permite acumular en cero.

Si Deₙ=aₙeₙ con coeficientes acotados, ‖D‖=supₙ|aₙ|: la cota se obtiene sumando cuadrados y eₙ aproxima el supremo.

Si aₙ no tiende a cero, hay ε>0 e infinitos índices con |aₙ|≥ε. Sus imágenes aₙeₙ están separadas por al menos √2ε, así no hay compacidad. Además D es autoadjunto exactamente cuando los aₙ son reales. Para un compacto autoadjunto general, la expansión espectral reproduce esta estructura sobre la parte no nula y anula la componente del núcleo.

Aproximar K en L² por sumas finitas aⱼ(s)bⱼ(t) produce operadores de rango finito con error de operador controlado por el error de núcleo. Por tanto T es compacto.

La condición K(s, t)=conjugado de K(t, s) casi en todas partes da T=T*, al intercambiar integrales en el producto interior. En cambio, un autoadjunto acotado general puede tener espectro continuo y no tener autovectores no nulos. El teorema compacto no permite declararlo diagonalizable mediante una base de autovectores.