Teoría espectral introductoria

Trabajamos con T acotado en un Banach complejo X no nulo. λ está en el resolvente si T−λI es biyectivo con inversa acotada R(λ)=(T−λI)⁻¹: X→X. El complemento en C es σ(T), su espectro. La inversa debe estar definida para toda salida, no solo para las que casualmente se puedan obtener.

En este marco, una biyección lineal continua entre Banach ya tiene inversa acotada. Por eso no hay un tercer caso de biyección completa con inversa discontinua: al ser espectral debe fallar la inyectividad o la sobreyectividad. Sí puede ser no acotada la inversión definida solo en una imagen propia, con la norma heredada.

El espectro puntual contiene los autovalores: existen x≠0 con (T−λI)x=0. En dimensión finita, inyectividad y sobreyectividad son equivalentes, así todo el espectro es puntual. En infinito esa equivalencia desaparece.

Con la convención de esta lección, el espectro continuo reúne desplazamientos inyectivos con imagen densa pero propia. El residual reúne los inyectivos cuya imagen no es densa. Exigir inyectividad en esas dos categorías las separa del puntual. Si la imagen es toda y el núcleo trivial, la inversa acotada devuelve el caso resolvente.

Si ‖A‖<1, las sumas Σₙ₌₀ᴺAⁿ son Cauchy en norma de operadores y convergen, porque el espacio de operadores en un Banach es completo. Multiplicar por I−A da I−Aᴺ⁺¹; el resto tiende a cero. La serie es por tanto la inversa de I−A.

Así σ(T) está dentro del disco cerrado de radio ‖T‖. Estar dentro no obliga a ser espectral: la condición es suficiente para pertenecer al resolvente, no una caracterización de él.

Así el resolvente es abierto y R depende analíticamente de λ. Su complemento es cerrado y, por el disco anterior, acotado: σ(T) es compacto.

Para no vacuidad, supongamos resolvente en todo C. Para cualquier x y funcional φ, φ(R(λ)x) sería entera y tendería a cero en infinito por la cota de Neumann. Es acotada también en cada disco, así Liouville la haría idénticamente cero. Hahn–Banach separa puntos, luego R(λ)x=0 para todo x, imposible para una inversa en X≠0.

Esta prueba explica por qué se fijan complejos y espacio no nulo.

Las normas de potencias son submultiplicativas; eso hace que ese límite exista y sea el ínfimo de sus raíces, con el caso de una potencia cero tratado directamente.

La igualdad usa también análisis complejo. Si una raíz ‖Tⁿ‖¹/ⁿ es menor que |λ|, Neumann invierte Tⁿ−λⁿI; factorizar en factores conmutativos obliga a que T−λI sea invertible.

Para R>r(T), la fórmula de Cauchy del resolvente da Tⁿ=−(1/(2πi))∮_{|λ|=R}λⁿR(λ)dλ y ‖Tⁿ‖≤Rⁿ⁺¹ max_{|λ|=R}‖R(λ)‖. Tomar raíces y después R hacia r(T) da la otra desigualdad. Este paso usa Cauchy, no solo aritmética de normas.

Esa cota asegura núcleo trivial e imagen cerrada: una Cauchy de salidas produce una Cauchy de entradas. La imagen es densa porque su perpendicular es ker(T−λ̄I), también trivial por la misma cota. Cerrada y densa significa toda H, así λ es resolvente.

Por tanto σ(T) es real. Además ‖T*T‖=‖T‖²: una dirección se obtiene por submultiplicatividad y la otra por ‖Tx‖²=⟨T*Tx, x⟩. Para T autoadjunto, iterar el cuadrado da la igualdad de normas para potencias de exponentes 1,2,4,8,…: la raíz de ese orden de la norma de la potencia vale siempre ‖T‖.

Si T es además compacto, los valores espectrales no nulos son autovalores de multiplicidad finita. En dimensión infinita cero debe ser espectral para un compacto, pues una inversa acotada haría compacta la identidad.

La imagen contiene c₀₀ y es densa en ℓ². No es toda ℓ²: la inversión requeriría que (nyₙ) también fuera de cuadrados sumables. Además ‖Deₙ‖=1/n→0 sin que ‖eₙ‖ baje, así la inversión sobre la imagen no admite una cota uniforme.

Cada 1/n es autovalor y cero es continuo por densidad e imagen propia. Si λ∉K, su distancia δ>0 al conjunto cerrado K hace acotada la secuencia 1/(1/n−λ). La fórmula de inversión coordenada a coordenada define entonces un operador acotado en todo ℓ², así no hay otros valores espectrales.

Si λ∉[0,1], la distancia δ al intervalo es positiva: dividir por t−λ da una inversa en todo L² con norma a lo sumo 1/δ.

Tiene norma uno y ‖(M−λI)f_ε‖≤ε, imposible para una inversa acotada.

No hay autovectores no nulos: (t−λ)f=0 obliga a soporte en un punto, de medida cero, cuando λ está dentro; fuera no hay ceros. Para λ del intervalo, la imagen es densa porque un vector perpendicular a ella estaría en el núcleo de su adjunto M−λI, que es trivial.

Es propia por la falta de inversa anterior. Todo ese intervalo es espectro continuo en nuestra convención.

La razón es factorizar p(z)−μ sobre C: p(T)−μI es producto de factores T−λⱼI que conmutan. El producto es invertible si y solo si todos los factores lo son; si un producto de factores conmutativos tiene inversa, cada factor la obtiene multiplicando los otros por esa inversa.

El caso de polinomio constante se comprueba directamente.

Para autoadjuntos acotados, el teorema espectral extiende ese cálculo a funciones continuas sobre el espectro. En compactos puede escribirse por sumas sobre modos; en el caso general intervienen medidas espectrales. Se enuncia esa extensión sin reemplazarla por una supuesta base de autovectores en todos los casos.

Operadores no acotados, como derivadas en dominios propios, requieren precisar dominio y cierre y quedan fuera de este marco introductorio.