Diámetro de [−2,3].
Resta los extremos.
El diámetro es el supremo de las distancias entre dos puntos del intervalo.
La distancia mayor se logra entre los extremos −2 y tres.
Constante Lipschitz mínima de f(x)=3x−1 en R.
Calcula |f(x)−f(y)|.
Por tanto L=3 es una constante Lipschitz válida.
Si x≠y, el cociente de ambas distancias es exactamente tres, así que ninguna constante menor sirve. La mínima es 3.
¿[0,1] es compacto en R? Responde sí o no.
Aplica cerrado y acotado.
En R, Heine–Borel caracteriza compactos como cerrados y acotados.
[0,1] incluye sus extremos y todos sus puntos límite, de modo que es cerrado.
También está acotado entre cero y uno. La respuesta es sí.
Prueba que la imagen continua de un compacto es compacta.
Lleva una cubierta abierta hacia atrás mediante preimágenes.
Sea una cubierta abierta de f(K), con K compacto y f continua.
Las preimágenes de los abiertos forman una cubierta abierta relativa de K; por compacidad elegimos finitas que lo cubren.
Los abiertos originales correspondientes cubren f(K): cada imagen procede de un punto de K cubierto por alguna preimagen seleccionada. La imagen es compacta.
¿x² es uniformemente continua en R?
Compara n y n+1/n.
Con una tolerancia fija, por ejemplo uno, falla cualquier δ común. x² no es uniformemente continua en R.