En un intervalo cerrado no podemos escapar hacia un borde que falta ni hacia infinito. La compacidad formaliza ese control. Veremos cómo permite convertir la continuidad punto a punto en una sola regla de cercanía válida para todas las parejas del dominio.
Si necesitas repasar:
1. Compacto significa que cualquier cubierta abierta se puede reducir a finitos de sus propios abiertos
Una cubierta abierta de K es una familia de abiertos cuya unión contiene todos los puntos de K. Una subcubierta selecciona algunos de los mismos abiertos y sigue cubriendo K. K es compacto cuando toda cubierta abierta admite una subcubierta finita.
No se pide encontrar alguna cubierta finita: todo conjunto estaría cubierto por el espacio completo. El esfuerzo está en poder reducir cualquier cubierta que nos den. Los abiertos pueden solaparse y no necesitan estar contenidos en K.
Seleccionar de una cubierta dada
En [0,1], usa Uₙ=(−1,1−1/n), n≥2, y V=(0,8;2). Encuentra una subcubierta finita.
Qué cubren
Los Uₙ llegan cada vez más cerca de uno; V cubre el extremo uno y su zona cercana.
Elegir
U₆=(−1,5/6) y V se solapan porque 0,8<5/6.Cubrir
Juntos cubren todo [0,1]. Se eligieron dos abiertos de la familia dada.
Es una subcubierta finita de esta cubierta.
Este ejemplo muestra el procedimiento; la compacidad afirma que funciona con cualquier cubierta, no solo esta.
Una cubierta que no se puede reducir
En K=(0,1), toma Uₙ=(1/n,1), n≥2.
Cobertura
Para cualquier x∈(0,1), elegir n>1/x da x∈Uₙ.Selección finita
Si N es el mayor índice elegido, todos esos abiertos están contenidos en U_N.
Punto que falta
1/(2N) está en K y no en U_N. Ninguna selección finita cubre K.
(0,1) no es compacto.
La misma familia no es una cubierta de [0,1]: tampoco contiene sus extremos, así que no refuta la compacidad del intervalo cerrado.
2. En ℝⁿ, cerrado y acotado equivale a compacto
Heine–Borel afirma que K⊆ℝⁿ es compacto exactamente cuando es cerrado y acotado. Cerrado significa que contiene los límites de sus sucesiones convergentes en ℝⁿ; acotado, que cabe en una bola de radio finito.
También equivale a que toda sucesión de K tenga una subsucesión convergente con límite en K. La acotación permite extraer por Bolzano–Weierstrass y el cierre mantiene dentro el punto límite. Estas equivalencias son específicas de este marco; cerrado y acotado no basta en dimensión infinita.
Disco cerrado y disco abierto
Compara x²+y²≤1 con x²+y²<1 en ℝ².
Cerrado
El primero contiene su circunferencia y es acotado: es compacto.
Abierto
La sucesión (1−1/n,0) pertenece al segundo y tiende a (1,0), fuera de él.
Conclusión
El disco abierto no es cerrado ni compacto, aunque sí acotado.
La frontera puede decidir si el límite se conserva dentro.
Los primeros términos de la sucesión están permitidos desde n=1.
Por qué no extendemos cerrado y acotado a cualquier espacio
En ℓ², el espacio de sucesiones con suma de cuadrados finita, considera los vectores eₙ con un uno en la posición n y ceros en las demás.
Normas
Cada eₙ tiene norma uno, dentro de la bola unidad cerrada.
Separaciones
Si m≠n, ‖eₙ−e_m‖=√2.Sin extracción convergente
Ninguna subsucesión puede ser Cauchy, por lo que la bola no es compacta en ese espacio infinito dimensional.
La dimensión finita es una condición sustancial del criterio.
No contradice Heine–Borel en ℝⁿ: aquí cambió el espacio.
3. Los ejemplos muestran qué hipótesis impiden perder puntos o escapar
Un intervalo [a,b] es cerrado y acotado, así que es compacto. ℝ es cerrado pero no acotado. Un conjunto finito es compacto incluso sin usar ese criterio: de cualquier cubierta escogemos un abierto para cada punto y obtenemos una selección finita.
El vacío también es compacto, con selección vacía. Para asegurar máximos o mínimos necesitaremos después no vaciedad: un extremo debe ser un valor alcanzado por algún punto. No confundimos esas dos condiciones.
Una prueba directa para tres puntos
K={−1,0,2} y una cubierta abierta cualquiera.
Elegir por punto
Hay algún abierto de la cubierta que contiene −1, otro que contiene cero y otro que contiene dos.
Reducir
Esos como mucho tres abiertos cubren todo K.
Universalidad
La elección se puede hacer para cualquier cubierta que nos den.
K es compacto por definición.
Si un mismo abierto contiene varios puntos, podemos escoger incluso menos; no hace falta un número fijo exacto.
Añadir un punto límite puede completar un compacto
Compara A={1/n:n≥1} y K=A∪{0}.
A
Tiene una sucesión de sus propios puntos que converge a cero, excluido; no es cerrado ni compacto.
K
Está acotado y contiene ese punto de acumulación. Cualquier sucesión suya o repite algún valor infinitamente, o tiene una subsucesión que se acerca a cero.
Criterio secuencial
Todas las extracciones necesarias conservan límite dentro de K, que sí es compacto.
El cero añadido impide perder el único punto de acumulación que faltaba.
No se afirma que toda sucesión de K converja: solo que se puede extraer una parte convergente.
4. La continuidad puntual permite una δ distinta en cada lugar; la uniforme no
En continuidad en a, fijamos a y ε>0 y después elegimos δ que controla entradas cercanas a ese a. Puede depender de dónde estamos. En uniformidad, primero se pide ε, después elegimos δ y debe servir para todas las parejas x,y del dominio con |x−y|<δ.
No cambia el significado de tolerancia; cambia quién puede influir en la elección de la escala. Una δ puntual para cada a no se convierte automáticamente en una δ común. Escribimos la dependencia permitida antes de probar nada.
| Propiedad | Qué puede determinar δ |
|---|---|
| Continua en a | a y ε |
| Uniformemente continua en D | ε y el dominio D ya fijado |
Continuidad de x² en un punto arbitrario
Fija a∈ℝ y ε>0. Construye una δ puntual.
Separar factores
|x²−a²|=|x−a||x+a|.Control cerca de a
Si |x−a|<1, entonces |x+a|≤|x−a|+2|a|<1+2|a|.Elegir
δ=min(1,ε/(2|a|+1)) garantiza error menor que ε.
Es continua en cada a.
Esta elección depende de |a| y todavía no prueba uniformidad en toda la recta.
Una δ que sí es común
f(x)=3x−2 en ℝ.
Diferencia
|f(x)−f(y)|=3|x−y|.Elegir
δ=ε/3.Todo par
|x−y|<δ implica diferencia de salidas menor que ε, independientemente de su ubicación.
La función es uniformemente continua en ℝ.
La misma fórmula sirve con entradas muy grandes o muy pequeñas.
5. Heine–Cantor da una escala común si el dominio es compacto y la función continua
Si f es continua en un compacto K, es uniformemente continua. Por contradicción, si no lo fuera, habría ε₀>0 y pares xₙ,yₙ∈K a distancia menor que 1/n, con imágenes separadas al menos ε₀.
Continuidad hace que ambas imágenes tiendan a f(a), por lo que su diferencia tiende a cero: contradicción. Se usaron tanto la extracción como la pertenencia de a al dominio.
Una derivada no acotada en el borde no impide uniformidad
Estudia √x sobre [0,1].
Continuidad
Existe y es continua en todo ese intervalo, también en cero.
Compacidad
[0,1] es compacto.
Teorema
Es uniformemente continua, aunque su derivada 1/(2√x) no esté acotada cerca de cero.
Heine–Cantor no exige una derivada acotada.
En el apartado siguiente daremos además una δ explícita mediante una desigualdad distinta.
Alejar una singularidad con el dominio correcto
f(x)=1/x en [a,1], con 0<a≤1.
Criterio
Continua en un compacto: uniforme.
Cota directa
|1/x−1/y|=|x−y|/(xy)≤|x−y|/a².Escala
δ=a²ε funciona para todas las parejas del intervalo.
La separación positiva del cero da control común.
Esta δ empeora si hacemos a más pequeño; no prueba uniformidad al permitir a=0.
6. Una cota Lipschitz da δ explícita, aunque no es necesaria
Una derivada acotada en un intervalo da esa cota por el teorema del valor medio.
El intervalo importa para mantener entre x e y todo el segmento donde usamos el teorema. Lipschitz es suficiente, no necesario. Puede haber una escala como δ=ε² en lugar de proporcional a ε, y aun así una sola δ para todas las parejas.
Una derivada globalmente acotada
f(x)=sin(2x), en radianes sobre ℝ.
Derivada
2cos(2x), de magnitud ≤2.Valor medio
|f(x)−f(y)|≤2|x−y|.Elegir
δ=ε/2 sirve en toda ℝ.
Uniformidad sin compacidad del dominio.
El factor dos proviene de la composición interior y no desaparece al pasar a una cota.
Uniforme pero no Lipschitz
Estudia √x sobre [0,∞).
Cota
|√x−√y|≤√|x−y| para x,y≥0; se comprueba suponiendo x≥y y elevando a cuadrados no negativos.
Uniformidad
δ=ε² asegura diferencia de raíces menor que ε.No Lipschitz
Con y=0 y x=h>0, el cociente de cambios es √h/h=1/√h, sin cota al acercarse a cero.
Es uniformemente continua en ese dominio no compacto y no es Lipschitz allí.
Las dos propiedades no son equivalentes.
7. Para refutar uniformidad fijamos una tolerancia y movemos las parejas
Buscamos ε₀>0 y parejas del dominio que se acerquen entre sí mientras sus imágenes siguen separadas. Si |xₙ−yₙ|→0 pero |f(xₙ)−f(yₙ)| no tiende a cero, ninguna δ común puede funcionar.
Las entradas pueden desplazarse hacia infinito o hacia un borde excluido. Deben permanecer dentro del dominio en cada índice. No contradice continuidad puntual, que fijaba el lugar antes de elegir la escala.
Variación creciente hacia infinito
f(x)=x² en ℝ, xₙ=n, yₙ=n+1/n.
Entradas
La distancia es 1/n→0.Salidas
(n+1/n)²−n²=2+1/n²≥2.Tolerancia fija
Con ε₀=1, cualquier δ es violada por algún par suficientemente tardío.
x² no es uniformemente continua en ℝ.
La prueba usa una sola tolerancia persistente, no una distinta para cada n.
Un borde excluido con saltos de salida fijos
f(x)=ln x en (0,1); usa xₙ=1/n, yₙ=1/(2n), n≥2.
Dominio
Ambas entradas están estrictamente entre cero y uno.
Acercamiento
Su distancia es 1/(2n)→0.Imágenes
|lnxₙ−lnyₙ|=ln2.Elegir ε₀=(ln2)/2 refuta toda δ común.
Es continua en cada punto, pero no uniforme en ese intervalo.
No se evalúa ln0; los puntos se acercan a un borde que está fuera.
8. Cambiar el dominio puede cambiar la uniformidad sin cambiar la fórmula
En toda ℝ ese factor no tiene una cota común, y acabamos de refutar uniformidad con parejas móviles. Una propiedad uniforme siempre se declara sobre un dominio concreto.
Compacidad es suficiente para continuidad uniforme de una continua, no necesaria. Uniformidad tampoco implica que la función esté acotada: una recta no constante en ℝ es Lipschitz y crece sin cota.
Restringir el ejemplo problemático
f(x)=x² en [−2,2].
Factor
|x+y|≤4 en ese dominio.Error
|x²−y²|≤4|x−y|.Escala
δ=ε/4 es común.
Es uniforme en ese intervalo, aunque no lo sea en toda ℝ.
La fórmula de f no cambió; cambió qué parejas hay que controlar.
Uniformidad sin acotación de función ni compacidad de dominio
f(x)=3x−1 sobre ℝ.
Dominio
ℝ no es compacto.
Valores
La función no está acotada.
Cambios
|f(x)−f(y)|=3|x−y| todavía da uniformidad.
Uniformidad controla diferencias pequeñas, no el tamaño absoluto de todos los valores.
No se intenta aplicar Heine–Cantor al dominio ℝ: se usa una cota directa.
9. Las imágenes continuas conservan compacidad y la uniformidad conserva Cauchy
Una cubierta abierta de f(K) se convierte por preimágenes continuas en una cubierta abierta relativa de K. Una selección finita en K vuelve a dar una selección finita en la imagen. Por tanto la imagen continua de un compacto es compacta.
Para f real continua en compacto no vacío, f(K) es cerrado y acotado y alcanza supremo e ínfimo: hay máximo y mínimo. Además, si f es uniformemente continua, envía cualquier sucesión de Cauchy del dominio a una de Cauchy: dada ε, usa la δ uniforme y después un umbral de Cauchy para las entradas.
Extremos alcanzados y no solo cotas
f(x)=sin x en [0,π].
Hipótesis
Continua en un compacto no vacío.
Cotas
Los valores están entre cero y uno.
Alcanzar
Cero se toma en 0 y π; uno en π/2. Son mínimo y máximo.
El teorema asegura existencia; la fórmula identifica dónde se alcanzan.
En un conjunto vacío no habría puntos para alcanzar valores, aunque sí fuese compacto.
Por qué continuidad puntual no basta para conservar Cauchy
En (0,1), aₙ=1/n para n≥2 es Cauchy; aplica f(x)=1/x.
Entradas
Todas pertenecen al dominio y se acercan entre sí.
Salidas
f(aₙ)=n, que no es Cauchy.Diagnóstico
f es continua punto a punto, pero no uniforme; el control común era la condición que faltaba.
La conservación de Cauchy es una consecuencia útil de la uniformidad.
Para funciones uniformes, la demostración δ–N del párrafo anterior evita ese escape de las imágenes.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una cota global
Prueba que sin es uniformemente continua en R.
Entradas
Tomamos x,y reales arbitrarios; con x=y la diferencia de senos es cero.
Valor medio
Si son distintos, seno es continuo y derivable entre ambos: sinx−siny=cosc·(x−y) para algún c intermedio.
Cota global
|cosc|≤1, por lo que |sinx−siny|≤|x−y|.Elegir δ
Dada ε>0 toma δ=ε, independiente de las entradas.Comprobar
|x−y|<δ obliga diferencia de senos menor que ε.Conclusión
Uniformemente continua en ℝ, por Lipschitz uno, sin usar compacidad de ese dominio.
Uniformemente continua.
La prueba establece una cota Lipschitz uno. No usa compacidad de R, que de hecho no es compacto.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un contraejemplo
Estudia 1/x en (0,1).
Continuidad
1/x es continua en cada punto de (0,1), pues el denominador no se anula allí.
Parejas
xₙ=1/n, yₙ=1/(n+1), para n≥2, están en el dominio.Entradas próximas
|xₙ−yₙ|=1/[n(n+1)]→0.Salidas separadas
f(xₙ)=n y f(yₙ)=n+1, a distancia uno.Tolerancia que falla
Fija ε₀=1/2.Para cualquier δ>0 hay un par con distancia de entrada menor que δ y salida uno, no menor que ε₀.
Resultado
No es uniformemente continua. En [a,1] con a>0 sí habría control uniforme porque el dominio queda separado del cero.
No es uniformemente continua.
Las parejas se acercan al extremo cero que queda fuera del dominio. En [a,1] con a>0, el mismo cociente sí admite un control uniforme.
Los símbolos que hemos usado
- K⊆Rⁿ
- Conjunto de puntos euclídeos que se estudia.
- Cubierta abierta
- Familia de abiertos cuya unión contiene K.
- Subcubierta finita
- Selección de finitos abiertos de la familia que todavía cubre K.
- ‖x−y‖
- Distancia euclídea entre dos puntos.
- ε, δ
- Tolerancias positivas de salida y entrada.
- Lipschitz L
- Cota global |f(x)−f(y)|≤L‖x−y‖ con L finita no negativa.
- Diámetro
- Supremo de las distancias entre parejas de puntos del conjunto.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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