En fₙ(x) hay dos procesos: aumentar n y acercar x a otro punto para derivar. Cambiar el orden puede cambiar el resultado. Empezaremos con modelos lineales y curvas que se aproximan, y después probaremos qué control permite derivar la función límite.
Si necesitas repasar:
1. La derivada es una aproximación lineal con error pequeño respecto al incremento
La aproximación no solo acierta en el valor del centro: su error desaparece comparado con el tamaño de h.
Derivable implica continua, pero una función continua puede tener esquina. En extremos de un intervalo cerrado indicamos derivadas laterales o una prolongación declarada; no evaluamos puntos exteriores sin justificar el dominio.
Hacer visible el resto de una cúbica
Linealiza f(x)=x³ en a=1.
Expandir
f(1+h)=1+3h+3h²+h³.Parte lineal
f(1)=1 y f′(1)=3; r(h)=3h²+h³.Control relativo
r(h)/h=3h+h²→0.
El modelo local es 1+3h.
Que r(h)→0 por sí solo habría sido una condición más débil; aquí se comprueba también el cociente.
Continuidad sin una pendiente única
f(x)=|x| en cero.
Continuidad
|h|→0.Cociente
|h|/h es uno con h>0 y menos uno con h<0.Resultado
No hay límite bilateral y no existe una única derivada finita.
La esquina impide derivabilidad, aunque no haya salto.
La distinción reaparecerá en una sucesión de funciones suaves con este límite.
2. En fₙ(x), n elige la función y x elige dónde la miramos
Para un límite puntual fijamos x y dejamos crecer n. Para derivar fₙ, fijamos n y variamos x. Una cota uniforme de error controla todos los puntos simultáneamente con un solo umbral de n.
Que cada fₙ sea derivable no asegura que su límite lo sea. Los dos procesos infinitos necesitan un enlace: el control de valores no mide por sí solo las pendientes a escalas cada vez más pequeñas.
No derivamos respecto del índice discreto
fₙ(x)=x/n, n≥1.
Fijar n
Es una recta de pendiente 1/n: fₙ′(x)=1/n.Fijar x
Al crecer n, fₙ(x)→0 para cada x real.Punto móvil
En xₙ=n, fₙ(xₙ)=1: eso no contradice el límite puntual que fijaba x.
Los dos símbolos cumplen funciones diferentes.
El punto móvil sirve para examinar uniformidad, no para recalcular un límite que se definía con x fijo.
Controlar valores y derivadas por separado
fₙ(x)=x²+cosx/n en ℝ.
Valores
|fₙ−x²|≤1/n para todo x.Derivadas
fₙ′=2x−sinx/n; su error respecto de 2x es ≤1/n.Conclusiones
Aquí convergen uniformemente tanto valores como pendientes, pero se probaron ambas cotas.
La derivada del límite coincide con el límite de derivadas en este ejemplo.
No se dedujo la segunda convergencia solo de la primera.
3. Una amplitud pequeña puede esconder oscilaciones de pendiente
La función sin(2nx)/(2n) tiene valores de magnitud ≤1/(2n) y converge uniformemente a cero. Al derivarla aparece el factor 2n interior y queda cos(2nx), cuya amplitud no disminuye.
Por eso la convergencia uniforme de funciones no implica convergencia de sus derivadas. Incluso si funciones y primeras derivadas convergen uniformemente, una segunda derivación requiere otro control de las segundas derivadas.
Valores pequeños y pendientes sin límite en un punto
fₙ(x)=sin(2nx)/(2n).
Límite de valores
La cota 1/(2n) da uniforme a cero.
Derivar
fₙ′(x)=cos(2nx).Punto x=π/2
fₙ′(π/2)=cos(nπ)=(−1)ⁿ, sin límite.
No se puede intercambiar esa derivación de forma general.
El factor interior explica por qué desaparecer en altura no significa desaparecer en pendiente.
Controlar un orden no controla automáticamente el siguiente
gₙ(x)=cos(nx)/n².
Valores
|gₙ|≤1/n²→0 uniformemente.Primera derivada
gₙ′=−sin(nx)/n, también uniforme a cero.Segunda
gₙ″=−cos(nx); en x=π alterna signos y no converge.
La primera derivación es compatible con el límite; la segunda no queda justificada por esas mismas cotas.
Cada orden requiere el control que le corresponde.
4. Un teorema suficiente controla las derivadas uniformemente y los valores en un punto
Si fₙ(x₀)→c para algún x₀ del intervalo y fₙ′→g uniformemente en él, entonces fₙ converge uniformemente a una f∈C¹([a,b]) y f′=g en el interior, con las derivadas laterales correspondientes en extremos.
Esta versión incluye continuidad de las primeras derivadas. Su límite uniforme g también es continuo. Son hipótesis suficientes claras, no condiciones necesarias para cualquier coincidencia entre límite y derivada que podamos demostrar por otro argumento.
Verificar las dos hipótesis sin mezclarlas
En [0,1], fₙ(x)=eˣ+x/n.
Punto
fₙ(0)=1 converge a uno.Derivadas
fₙ′=eˣ+1/n, con error uniforme 1/n respecto de eˣ.Teorema
El límite es C¹ y su derivada eˣ; los valores tienden a f=eˣ.
Se cumplen regularidad, punto de referencia y control uniforme de pendientes.
La constante del límite quedó fijada por el valor en cero.
Otra aplicación con oscilaciones que sí se reducen al derivar
En [−2,2], fₙ=arctanx+sin(nx)/n².
Referencia
fₙ(0)=0.Pendientes
fₙ′=1/(1+x²)+cos(nx)/n, error uniforme ≤1/n.Límite
f=arctanx y f′=1/(1+x²), como garantiza el teorema.
La presencia de oscilación no es el problema si su error derivado está controlado.
El dominio es un intervalo finito, como exige esta versión suficiente.
5. Integrar desde el punto de referencia construye el límite y demuestra la cota
Como g es continua, esta f tiene derivada g. El dato en x₀ aporta la constante.
La cota no depende de x y ambos términos tienden a cero. Así se demuestra también convergencia uniforme de las funciones; la longitud finita se usa de forma explícita.
Reconstruir una función a partir de sus datos
En [0,1], fₙ(0)=2+1/n y fₙ′(x)=2x+cosx/n.
Integrar
fₙ(x)=2+1/n+x²+sinx/n.Límite
c=2 y g=2x producen f=2+x².Cota
|fₙ−f|≤1/n+1/n=2/n, válida en todo el intervalo.
La cota controla simultáneamente constante y pendiente.
Aunque cada parte se haga pequeña, ambas deben incluirse en el error total.
Un punto base que no es cero
En [0,2], fₙ(1)=3 y fₙ′(x)=4x−1/n.
Integrar con orientación
fₙ(x)=3+∫₁ˣ(4t−1/n)dt=1+2x²−(x−1)/n.Límite
f(x)=1+2x² y f′=4x.Error
|x−1|/n≤1/n en ese intervalo.
El punto uno fija la constante igual que lo haría cualquier otro punto permitido.
Para x<1 la integral se orienta hacia atrás; la fórmula ya incorpora ese signo.
6. Las derivadas no registran traslaciones verticales
Dos funciones con la misma derivada en un intervalo difieren en una constante. Si esa constante cambia con n, controlar fₙ′ no controla los valores. Por eso el teorema necesita convergencia en un punto.
En un dominio con componentes separadas podría haber una constante distinta en cada componente. Un solo punto no fijaría todas. La hipótesis de un intervalo conectado no es un adorno del enunciado.
Mismas pendientes y valores que escapan
fₙ(x)=x²+n en [0,1].
Derivadas
fₙ′=2x exactamente; convergen uniformemente a 2x.Referencia
fₙ(0)=n no converge a un real.Valores
En cualquier x fijo, x²+n crece sin cota.
No hay límite real de funciones pese al control perfecto de pendientes.
El obstáculo es una constante que las derivadas no pueden medir.
Dos componentes con constantes independientes
En D=[−2,−1]∪[1,2], define fₙ=0 en la primera y fₙ=n en la segunda.
Pendientes por componente
Son cero en ambas, con extensiones constantes a sus vecindades.
Un punto no basta
En x₀=−3/2, todos los valores son cero y convergen.
Otra componente
En x=3/2 los valores son n y no convergen.El dominio no es el intervalo conectado del teorema.
Habría que controlar una constante en cada componente relevante.
No se está refutando el teorema de intervalos: falta una de sus condiciones de dominio.
7. Un límite uniforme de curvas suaves puede tener esquina
Cada una es suave en ℝ, pero el límite es |x|.
Las derivadas son x/√(x²+1/n²). Su límite vale uno con x>0, menos uno con x<0 y cero en x=0. Es discontinuo en cero y no puede ser un límite uniforme de esas derivadas continuas en un intervalo que cruce ese punto.
Calcular el error uniforme exacto
Compara fₙ con |x| en toda ℝ.
Cota
La racionalización anterior da error ≤1/n.Alcanzar
En x=0, fₙ(0)−0=1/n.Supremo
El error uniforme es exactamente 1/n→0.
La convergencia de valores es uniforme, pero el límite no es derivable en cero.
La suavidad de cada curva no se transmite sin el control adecuado de derivadas.
Localizar el error persistente de las pendientes
En xₙ=1/n, compara fₙ′ con su límite puntual g.
Pendiente de fₙ
fₙ′(1/n)=1/√2.Límite puntual en ese punto
Como xₙ>0, g(xₙ)=1.Error
1−1/√2 es una separación positiva fija, independiente de n.
Las derivadas no convergen uniformemente cerca del origen.
Usar puntos móviles es correcto para refutar el control simultáneo en todo el intervalo.
8. Una serie de funciones se deriva mediante el teorema aplicado a sumas parciales
Para pasar al límite se exige convergencia de S_N(x₀) en un punto y convergencia uniforme de la serie de derivadas, con la regularidad indicada.
Una forma de probar uniformidad es encontrar |uₙ′(x)|≤Mₙ con ΣMₙ convergente. Eso controla las colas por una serie numérica. No se sustituye por una cota solo de uₙ: la serie original y la serie de pendientes son objetos diferentes.
Potencias con un factor que controla sus derivadas
En [−1,1], usa uₙ(x)=xⁿ/(n²2ⁿ), n≥1.
Referencia
uₙ(0)=0, así que las sumas en cero convergen.
Derivada y cota
uₙ′=xⁿ⁻¹/(n2ⁿ); su módulo es ≤1/(n2ⁿ)≤2⁻ⁿ.Teorema
La serie geométrica de cotas converge; podemos derivar la suma término a término y el límite es C¹.
El control de la serie de derivadas es uniforme en el intervalo.
En n=1, x⁰=1: el primer término derivado también entra en la cota.
Una serie trigonométrica
En [0,2π], usa uₙ(x)=sin(nx)/n³.
Referencia
Las sumas parciales en cero valen cero.
Serie derivada
uₙ′=cos(nx)/n², con módulo ≤1/n².Dominación numérica
La p-serie de exponentes dos converge y asegura uniformidad; se permite derivar una vez.
La derivada de la suma es Σcos(nx)/n².
Derivar otra vez necesitaría revisar de nuevo el control; no se concede automáticamente por esta primera aplicación.
9. Un teorema suficiente no es una autorización universal ni una condición necesaria para cada punto
Antes de intercambiar límite y derivada indicamos intervalo, regularidad, valor de referencia y error uniforme de pendientes. Si falla una hipótesis, esta versión no certifica el intercambio. La cuenta podría coincidir en algunos puntos o fallar: hay que demostrarlo.
También distinguimos interior y extremos. El comportamiento puede ser correcto en todo compacto interior y perderse en un borde. Una conclusión local no se extiende a todo el dominio sin revisar dónde funciona la cota.
Coincidencia interior sin la uniformidad global del teorema
fₙ(x)=xⁿ/n sobre [0,1].
Valores
0≤fₙ≤1/n, límite uniforme cero.Pendientes
fₙ′=xⁿ⁻¹ tiende a cero para cada x<1, pero vale uno en x=1 y no converge uniformemente en todo el intervalo.
Alcance
En cada punto interior sí coincide el límite de derivadas cero con f′=0; en el extremo uno no coincide con la derivada lateral del límite.
No cumplir una hipótesis global no decide cada punto por separado.
En [0,r] con r<1 sí se obtiene una cota uniforme de las pendientes.
Límites de pendientes en un punto que dan el valor equivocado
fₙ(x)=x/(1+n²x²) en ℝ.
Valores uniformes
2n|x|≤1+n²x² da |fₙ(x)|≤1/(2n), así que el límite es cero.Derivar
fₙ′=(1−n²x²)/(1+n²x²)².En cero vale uno para todos los n.
Comparar
El límite de fₙ′(0) es uno, pero la derivada del límite cero es cero.
Ni siquiera convergencia de pendientes en un punto basta para intercambiar.
La falta de control uniforme del entorno permite pendientes persistentes sobre zonas cada vez más estrechas.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un límite derivable
En [0,1], fₙ(x)=x²+x/n. Identifica f y el límite de derivadas.
Límite candidato
En [0,1], fₙ=x²+x/n tiende puntualmente a x².Valores uniformes
|fₙ−x²|=x/n≤1/n.Derivadas
fₙ′=2x+1/n; cada función es C¹.Pendientes uniformes
|fₙ′−2x|=1/n en todo el intervalo.Referencia
fₙ(0)=0 converge a cero.Conclusión
El teorema garantiza f=x² con f′=2x; la derivación directa del límite confirma la igualdad.
f=x² y f′=2x.
La cota de valores y la de pendientes son ambas del orden 1/n; se han verificado por separado, no deducido una de la otra sin prueba.
EJEMPLO RESUELTO 2
Constantes que escapan
¿Basta fₙ′→0 uniformemente para que fₙ converja?
Qué se pregunta
Controlar solo fₙ′ no puede fijar las constantes de las funciones.
Contraejemplo
En cualquier intervalo no vacío, toma fₙ(x)=n.Derivar respecto de x
fₙ′=0 para todo n y punto.Uniformidad
El error de derivadas respecto de cero es exactamente cero.
Valores
fₙ(x₀)=n no converge en ningún punto fijo.Control ausente
Falta un valor de referencia convergente; restar ese desplazamiento vertical dejaría las funciones cero.
No; falta controlar una constante de integración.
Restar fₙ(x₀)=n dejaría la función cero; el obstáculo es exactamente el desplazamiento vertical que las derivadas no registran.
Los símbolos que hemos usado
- f′(x)
- Derivada: límite del cociente [f(x+h)−f(x)]/h cuando h tiende a cero.
- fₙ
- Función de índice n de una sucesión sobre un dominio común.
- fₙ→f puntualmente
- Para cada x fijo, los números fₙ(x) convergen a f(x).
- Convergencia uniforme
- El error de funciones se hace pequeño simultáneamente para todo x del dominio.
- C¹([a,b])
- Funciones con derivada interior continua que se prolonga continuamente a los extremos.
- x₀
- Punto fijo del intervalo donde se controla el valor de cada función.
- g
- Límite uniforme propuesto para las derivadas.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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