Para xⁿ en [0,1/2], ¿cuánto vale el supremo del error cuando n=3?
El máximo se alcanza en 1/2.
En [0,1/2], el límite de xⁿ es cero.
Para n=3, el error x³ es creciente en ese intervalo y su máximo ocurre en x=1/2.
Límite puntual de x/n en x=7.
x queda fijo al pasar n a infinito.
En convergencia puntual fijamos x=7 antes de hacer crecer n.
La sucesión resultante es 7/n.
Supremo de |x/n| en [−2,2] cuando n=10.
El módulo máximo de x es dos.
En [−2,2], el máximo de |x| es dos y se alcanza en ambos extremos.
Prueba que un límite uniforme de funciones continuas es continuo.
Divide el error en tres partes.
La convergencia uniforme permite elegir una función f_N con sup|f_N−f|<ε/3.
La continuidad de f_N en a da δ>0 para que |f_N(x)−f_N(a)|<ε/3 cuando x está a menos de δ de a.
La desigualdad triangular añade los errores en x y a y el término central; todos juntos son menores que ε. Así f es continua en a.
¿fₙ(x)=x/n converge uniformemente a cero en R?
Busca el supremo del error para cada n.
Para cada x real fijo, x/n tiende a cero, así que sí hay convergencia puntual.
Pero para cualquier n podemos elegir x=n, que pertenece a R y da error uno.
La tolerancia ε=1/2 falla para todos los índices en algún punto. No converge uniformemente; de hecho el supremo del error es infinito.