Convergencia puntual y uniforme

En fₙ(x), el índice n elige la función y x elige dónde evaluarla. Con x fijo, f₁(x), f₂(x), … son números. Hay convergencia puntual a f si esta sucesión converge a f(x) en cada punto del dominio D.

Escribimos: para todo x∈D y todo ε>0 existe N, posiblemente distinto para cada x, tal que n≥N implica |fₙ(x)−f(x)|<ε. No cambiamos x mientras calculamos este primer límite.

La convergencia es uniforme si para todo ε>0 existe N tal que, para todo n≥N y todo x∈D, |fₙ(x)−f(x)|<ε. Primero elegimos N y después cualquier punto; N puede depender de ε y del dominio, pero no de x.

Visualmente ponemos una banda vertical de error ±ε alrededor de f. A partir de una curva, todas las siguientes deben quedar enteras dentro de esa banda. Uniforme implica puntual al usar el mismo N para cada punto fijo; el recíproco puede fallar.

El supremo es la menor cota superior, aunque no se alcance en ningún punto. Puede ser infinito. La convergencia uniforme equivale a Eₙ→0: reducir el peor error reduce simultáneamente todos los errores.

Para probarlo basta encontrar una cota independiente de x que tienda a cero. Para calcular Eₙ exactamente necesitamos además justificar que la cota es óptima. Que un error particular sea pequeño no controla el resto del dominio.

En [0,1), una potencia xⁿ tiende a cero; en x=1 vale siempre uno. La función límite no es la función cero en todo [0,1]. En el extremo uno el error respecto del límite correcto es exactamente cero.

Para cada n, al acercarnos a uno por la izquierda, xⁿ se acerca a uno mientras f(x)=0. El supremo del error es uno, aunque ningún punto tenga error exactamente uno. Esa franja difícil se mueve hacia el extremo.

Una sucesión puede ser uniforme en un dominio y dejar de serlo al ampliarlo. Una cota que contiene el tamaño del dominio sigue siendo uniforme si ese tamaño es fijo. No confundimos uniforme en cada compacto con uniforme en toda la unión de compactos.

Al restringir el dominio, un supremo no aumenta; por eso toda convergencia uniforme se conserva en subconjuntos. Ampliar el dominio requiere una nueva estimación.

Para refutar uniformidad buscamos una tolerancia fija ε₀>0 tal que, por grande que sea N, exista algún n≥N y algún x del dominio con error al menos ε₀. No basta encontrar un primer índice malo: deben quedar errores grandes arbitrariamente lejos.

Una estrategia útil es construir puntos xₙ con error fijo para todos los n, o para una subsucesión de índices que crece sin límite. Que esos puntos se muevan está permitido porque la afirmación uniforme prometía servir para todos.

Queremos controlar |f(x)−f(a)|. Insertamos una sola función fₙ entre ambos valores: la distancia queda acotada por |f(x)−fₙ(x)|+|fₙ(x)−fₙ(a)|+|fₙ(a)−f(a)|. Son dos errores de aproximación y un error de continuidad.

Elegimos primero un n fijo que haga los dos errores exteriores menores que ε/3 en todo el dominio. Después la continuidad de esa fₙ en a proporciona δ para el término central. La suma es menor que ε. La continuidad es relativa al dominio y no requiere compacidad.

Decimos que fₙ es uniformemente de Cauchy si para todo ε>0 existe N tal que m,n≥N implican |fₙ(x)−fₘ(x)|<ε para todo x. Para valores reales o complejos, esto equivale a que exista un límite uniforme.

La completitud produce primero un límite f(x) para cada x. Una cota común de Cauchy, aplicada con ε/2 y haciendo m→∞, da |fₙ(x)−f(x)|≤ε/2<ε para todos los x. Para series, el criterio de Weierstrass ofrece ese control cuando |uₖ(x)|≤Mₖ y ΣMₖ converge.

Si cada fₙ es uniformemente continua y la convergencia es uniforme, f también es uniformemente continua: en la prueba de tres errores usamos la δ global de una única fₙ elegida. En un intervalo finito, funciones integrables con límite uniforme permiten pasar el límite dentro de la integral.

Ni la derivación ni la integración en un dominio de longitud infinita se resuelven solo con uniformidad de valores. Las pendientes pueden oscilar mientras la altura se reduce; una altura pequeña también puede ocupar una región enorme. Cada operación pide su propio control.