Si sup|fₙ−f|≤0,01 en [0,3], ¿qué cota da para el error integral?
Multiplica por la longitud.
La cota de error uniforme es 0,01 y el intervalo tiene longitud 3−0=3.
Calcula limₙ∫₀¹xⁿ dx.
Integra explícitamente.
El denominador crece sin límite.
Por tanto el límite de esas integrales es 0. Este cálculo directo no necesita uniformidad en [0,1].
Calcula ∫₀¹ limₙ(x²+1/n)dx.
El límite es x².
El límite puntual de x²+1/n es x².
La expresión solicitada integra esa función límite: ∫₀¹x² dx.
Una primitiva es x³/3, así que el valor es 1/3.
¿La convergencia puntual de funciones integrables garantiza intercambio con integral?
Usa una sucesión de picos.
Cada punto positivo termina fuera del pico y en cero la función vale cero; el límite puntual es la función cero.
Cada integral vale uno, mientras la integral del límite es cero. Todas las funciones son integrables y aun así el intercambio falla.
Justifica la integración término a término de Σₙ₌₀^∞xⁿ en [0,1/2].
Usa una cota geométrica uniforme.
La serie numérica de cotas es geométrica convergente; el criterio de Weierstrass da convergencia uniforme de las sumas parciales.
Cada término es continuo e integrable y el intervalo es compacto. Por el teorema de integración uniforme, la integral de la suma coincide con la suma de las integrales.