Dos caminos pueden parecer iguales: primero integrar cada curva y luego tomar el límite, o primero encontrar la curva límite y después integrarla. A veces coinciden y a veces se pierde área por el camino. Dibujaremos ambas situaciones y aprenderemos qué condición permite cambiar el orden con una prueba.
Si necesitas repasar:
1. Dos órdenes de operaciones: escribimos ambos resultados antes de igualarlos
En limₙ∫fₙ, cada integral produce un número y después estudiamos su límite. En ∫limₙfₙ, primero buscamos una función límite en el dominio y luego la integramos. Que existan todas las integrales individuales no garantiza que los dos caminos coincidan.
También ∂/∂x y limₙ son operaciones diferentes. Anotamos dominio, variable que cambia y tipo de integral. En los primeros ejemplos usamos Riemann en un intervalo cerrado finito; más adelante indicamos explícitamente cuándo entran funciones medibles e integral de Lebesgue.
Una primera coincidencia que podemos comprobar directamente
fₙ(x)=2x+1/n en [0,1].
Integrar primero
∫₀¹fₙ=1+1/n, cuyo límite es uno.Límite primero
Para cada x, fₙ(x)→2x.Integrar el límite
∫₀¹2x=1.
Ambos caminos dan 1.
Este cálculo verifica el ejemplo concreto; necesitamos un teorema para justificar otros sin una primitiva explícita.
Una coincidencia no convierte cualquier intercambio en regla
fₙ(x)=sin(nx)/n en ℝ; compara derivadas en cero.
Límite de valores
fₙ→0 uniformemente porque |fₙ|≤1/n.Derivar el límite
La derivada de cero es cero.
Derivar primero
fₙ′(0)=cos0=1 para todo n.
En cero, los órdenes límite y derivación dan 0 y 1.
Las condiciones suficientes para integrar y para derivar no son las mismas.
2. Intervalo finito más error uniforme: longitud por altura controla el área
Si fₙ son integrables de Riemann en [a,b] y convergen uniformemente a f, entonces f es integrable y ∫fₙ→∫f.
La integrabilidad del límite también se prueba: escogemos una fₙ uniformemente cercana a f y una partición con diferencia de sumas superior e inferior pequeña para fₙ. Para f esa diferencia aumenta a lo sumo 2(b−a)Eₙ. Haciendo pequeños ambos términos, el criterio de Darboux da integrabilidad.
Una cota aun sin integrar la oscilación
fₙ(x)=x²+sin(n²x)/n en [−1,2].
Regularidad
Cada función es continua, luego integrable.
Altura de error
|fₙ−x²|≤1/n en todo el intervalo.Longitud y límite
La longitud es tres; el error integral es ≤3/n→0 y ∫₋₁²x²=3.
Las integrales convergen a 3.
La frecuencia n² no estropea esta estimación de áreas: su amplitud sí está controlada.
Estimar cuántas curvas necesitamos
En [0,4], |fₙ−f|≤2/n y todas son integrables.
Error integral
Como la longitud es cuatro, la diferencia de integrales es ≤8/n.Objetivo
Queremos garantizar error menor que 0,01.
Umbral
Cualquier n≥801 sirve: 8/801<0,01.
Un único cálculo controla la integral completa.
Es una garantía suficiente; la cancelación entre errores positivos y negativos podría dar una diferencia menor.
3. Picos más altos y estrechos: cada punto deja de verlos, pero el área permanece
Para n≥2 dibujamos un triángulo sobre [0,2/n], con vértice (1/n,n) y altura cero en ambos extremos.
Cada fₙ es continua.
Si x>0 está fijo, al elegir n>2/x el soporte queda a su izquierda y fₙ(x)=0. Por tanto el límite puntual es cero en todos los puntos, pero el área de cada triángulo es (2/n)·n/2=1.
Recorrer los dos caminos con el dibujo
Usa los picos triangulares anteriores.
Límite primero
El límite puntual es cero, cuya integral vale cero.
Integral primero
El área positiva de cada triángulo es uno.
Comparar
El límite de las integrales es uno, distinto de cero.
La convergencia puntual de funciones continuas no basta para intercambiar.
La continuidad individual y la existencia de todas las integrales ya estaban presentes en el contraejemplo.
Localizar el fallo de uniformidad
Mira el punto xₙ=1/n de cada pico.
Altura
fₙ(xₙ)=n; la función límite vale cero.Peor error
Eₙ=n, alcanzado en el vértice.Comparar con el teorema
Eₙ no tiende a cero; la cota de longitud por altura no se hace pequeña.
La zona de gran error se estrecha, pero su altura crece.
No describimos xₙ como un punto fijo: el movimiento permite que cada curva esconda su mayor error en otro lugar.
4. En un intervalo infinito no tenemos una longitud finita que multiplicar
Sobre [0,∞), toma fₙ=1/(2n) entre cero y 2n y cero después. Su altura máxima tiende a cero: hay convergencia uniforme a cero. Sin embargo cada rectángulo tiene área 2n·1/(2n)=1.
La estimación por longitud no proporciona aquí una cantidad finita. La uniformidad sigue controlando las alturas, pero falta controlar cuánto dominio ocupan. Para intercambiar en un dominio infinito necesitaremos otra condición, como un dominador integrable común.
Uniformidad sin convergencia de las integrales al área límite
Usa los rectángulos de anchura 2n.
Supremo
sup sobre [0,∞) de |fₙ|=1/(2n)→0.Integrales impropias
Cada fₙ tiene soporte acotado y área uno.
Límite
La función límite cero tiene integral cero.
Incluso convergencia uniforme puede resultar insuficiente en un dominio de medida infinita.
El ejemplo no contradice el teorema sobre un intervalo fijo de longitud finita.
Ver qué ocurre en cualquier ventana finita
Restringe esas funciones a [0,A], A>0 fijo.
Estimación
La integral de fₙ en esa ventana es ≤A/(2n).Índices grandes
Cuando 2n≥A, vale exactamente A/(2n).Límite
La integral en la ventana sí tiende a cero.
El área uno se reparte cada vez más lejos del origen.
Primero fijar A y luego crecer n no equivale a hacer crecer ambos a la vez.
5. Convergencia dominada: un mismo techo integrable controla todas las curvas
Ahora trabajamos con funciones medibles e integral de Lebesgue. El teorema de convergencia dominada pide fₙ→f casi en todas partes y una función g integrable, independiente de n, tal que |fₙ|≤g casi en todas partes para todo n.
Casi en todas partes permite excepciones en un conjunto de medida cero. El dominador puede depender del punto x, pero debe ser el mismo para todos los índices y tener integral finita en el dominio completo. Una cota constante sobre [0,∞) suele tener integral infinita y no sirve.
Una sucesión no uniforme que sí deja pasar la integral
fₙ(x)=xⁿ en [0,1].
Límite
Es cero en [0,1) y uno en x=1; el extremo aislado tiene medida cero.
Dominador
0≤xⁿ≤1, y ∫₀¹1=1.Resultado
Dominada permite pasar al límite.
El cálculo ∫₀¹xⁿ=1/(n+1) confirma el límite cero.
Las integrales convergen aunque falle uniformidad.
El límite tiene valor uno en el extremo, pero eso no altera su integral de Lebesgue ni la de Riemann en este caso.
Un techo que sí es integrable en toda la semirrecta
fₙ(x)=e⁻ˣ sin(nx)/n en [0,∞).
Límite puntual
El módulo es ≤e⁻ˣ/n→0 en cada x.Un techo común
|fₙ(x)|≤e⁻ˣ y ∫₀∞e⁻ˣ=1.Aplicar
Las funciones son continuas y medibles; dominada da ∫fₙ→0.
La cola infinita queda controlada por e⁻ˣ.
Usar solo |fₙ|≤1 daría un techo con integral infinita y no justificaría este teorema.
6. Convergencia monótona y Fatou: otras formas de controlar el límite
Convergencia monótona: si fₙ son medibles, no negativas y fₙ≤fₙ₊₁, entonces ∫lim fₙ=lim∫fₙ, permitiendo el valor +∞. No exige un dominador integrable. La no negatividad y la monotonía de las funciones, punto a punto, son hipótesis del teorema.
Fatou: para funciones medibles no negativas, ∫liminf fₙ≤liminf∫fₙ. Aquí aparece una desigualdad, que puede ser estricta. No reemplazamos liminf por límite si no hemos probado que ese límite existe.
Una conclusión infinita también es una conclusión válida
En [0,∞), fₙ es el indicador de [0,n].
Orden
Para cada x, los indicadores solo pueden pasar de cero a uno.
Límite
Cada punto acaba dentro de [0,n], así que fₙ→1.
Integrales
∫fₙ=n→+∞ y ∫₀∞1=+∞.
Convergencia monótona da la igualdad con valor +∞.
No se está afirmando integrabilidad finita de la función límite.
Fatou no promete igualdad
Vuelve a los triángulos positivos de área uno.
No negatividad
Todos los valores son ≥0.Lado izquierdo
liminf fₙ=0 en cada punto, con integral cero.
Lado derecho
Las integrales son uno, por tanto su liminf es uno.
Fatou da 0≤1, una desigualdad estricta.
El área que desaparece del límite puntual explica exactamente la falta de igualdad.
7. Para derivar el límite controlamos pendientes y fijamos un valor de referencia
Una versión suficiente: fₙ∈C¹([a,b]), las derivadas fₙ′ convergen uniformemente a g y fₙ(x₀) converge a c en algún punto del intervalo. Entonces fₙ converge uniformemente a f(x)=c+∫ desde x₀ hasta x de g(t)dt, con f′=g en el interior y las derivadas laterales correspondientes en los extremos.
La prueba conecta con el caso integral ya resuelto: fₙ(x)=fₙ(x₀)+∫ desde x₀ hasta x de fₙ′.
El límite g es continuo porque las derivadas son continuas y convergen uniformemente.
Reconstruir el límite con datos de pendientes
fₙ(x)=x²+sin x/n en [0,1].
Referencia
fₙ(0)=0.Pendientes
fₙ′=2x+cos x/n y sup|fₙ′−2x|≤1/n.Reconstrucción
f(x)=0+∫₀ˣ2t dt=x², luego f′=2x.
El intercambio está justificado por control uniforme de las derivadas.
También podría comprobarse directamente; el teorema explica qué dato hace funcionar el razonamiento.
Por qué hace falta anclar la altura
fₙ(x)=x+n en [0,1].
Pendientes
fₙ′=1 exactamente: convergen uniformemente a uno.Altura
fₙ(0)=n no tiene límite real finito.Valores
Para cualquier x fijo, fₙ(x)→+∞, sin función límite real.
Las pendientes no fijan las constantes de integración.
Un punto de referencia convergente excluye este desplazamiento vertical sin límite.
8. Las series son límites de sumas parciales: aplicamos el teorema a esas funciones
Para integrar una serie en un intervalo finito, una condición suficiente es convergencia uniforme de la serie de funciones integrables.
Entonces la integral de la suma es la suma de las integrales.
Para derivar, en cambio, comprobamos uniformidad de la serie de derivadas y convergencia de la serie original en un punto, con términos C¹. Las series de potencias permiten ambos procesos en compactos estrictamente interiores a su radio; cada extremo requiere un estudio nuevo.
Integrar una serie geométrica de funciones
Σ desde k=0 hasta ∞ de (x/2)ᵏ en [0,1].
Uniformidad
|(x/2)ᵏ|≤2⁻ᵏ; la serie numérica dominante converge.Integrar términos
∫₀¹(x/2)ᵏ dx=1/[2ᵏ(k+1)].Comprobar suma
La función suma es 1/(1−x/2), cuya integral es 2ln2.
Σ desde k=0 hasta ∞ de 1/[2ᵏ(k+1)]=2ln2.
El término k=0 aporta uno; escribir la suma desde k=1 cambiaría el resultado.
Derivar una serie con control propio
Σ desde k=1 hasta ∞ de sin(kx)/k³ en [0,2π].
Punto base
Todos los términos valen cero en x=0, así que la serie allí converge.
Derivadas
uₖ′=cos(kx)/k²; |uₖ′|≤1/k² y Σ1/k² converge.Teorema
La suma es C¹ y su derivada es Σcos(kx)/k².
La serie de derivadas tiene la uniformidad que necesitábamos.
Una segunda derivada exige revisar otra vez las condiciones; no se obtiene automáticamente de la primera.
9. Que falle un criterio suficiente no decide por sí solo el intercambio
Una comprobación ordenada tiene cuatro pasos: encontrar el límite correcto; nombrar dominio y operación; elegir un teorema y verificar cada hipótesis; comparar, cuando sea posible, con un cálculo independiente. Si falla una hipótesis, buscamos otro criterio o calculamos ambos caminos.
No uniforme no significa integrales diferentes: xⁿ en [0,1] es el contraejemplo a esa falsa deducción. Tampoco uniforme significa todo permitido: los rectángulos en la semirrecta y las pendientes oscilantes ya mostraron los límites de esa afirmación.
Falla el criterio uniforme, pero el resultado sí coincide
Calcula para xⁿ en [0,1] por ambos órdenes.
Sin uniformidad
El supremo del error respecto del límite correcto es uno.
Cálculo directo
∫₀¹xⁿ=1/(n+1)→0.Integral del límite
El límite es cero salvo en uno, así que su integral también es cero.
El intercambio es correcto, y convergencia dominada ofrece además una justificación general.
No se usó el teorema uniforme cuando su hipótesis era falsa.
Un techo que depende del índice no resuelve la dominación
Para los picos, alguien propone gₙ(x)=n.
Comparación
Es verdad que |fₙ|≤n en [0,1].Fallo
Cada índice usa un techo distinto; dominada exige una única función g.
Imposibilidad de un techo integrable común
Si existiera, dominada forzaría integrales tendiendo a cero, contradiciendo el área uno ya calculada.
Las cotas individuales no sustituyen un dominador integrable común.
La contradicción usa el propio teorema con todas sus otras hipótesis verificadas; no supone que la mera falta de uniformidad prohíba dominar.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un intercambio válido
Calcula limₙ∫₀¹(x+x/n)dx.
Candidato
En [0,1], fₙ(x)=x+x/n converge puntualmente a f(x)=x.Error uniforme
|fₙ−f|=x/n≤1/n.Hipótesis
Todas son continuas e integrables sobre el mismo intervalo de longitud uno.
Intercambiar
El teorema de convergencia uniforme permite lim∫fₙ=∫lim fₙ.
Integrar
∫₀¹x dx=1/2.Verificación directa
∫₀¹(x+x/n)dx=1/2+1/(2n), cuyo límite es 1/2 y cuyo error exacto es 1/(2n).
El límite es 1/2.
La cota general da error integral como máximo 1/n; el cálculo exacto da 1/(2n), una cantidad menor que esa cota.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un pico que concentra masa
fₙ=n en (0,1/n) y cero en el resto de [0,1].
Definición completa
fₙ(x)=n si 0<x<1/n y cero en el resto de [0,1], incluidos cero y el borde 1/n.Límite puntual
En cero vale siempre cero. Con x>0 fijo, cuando n>1/x queda fuera del intervalo de altura n; por tanto fₙ(x)→0.
Integrar primero
Cada rectángulo tiene área n·(1/n)=1; los valores en los bordes no alteran la integral.
Límite primero
La función límite es cero y su integral vale cero.
Comparar
limₙ∫fₙ=1, mientras ∫limₙfₙ=0.No se pueden intercambiar en este caso.
Diagnóstico
El supremo de fₙ es n, así que no hay convergencia uniforme. Tampoco existe un dominador integrable común: convergencia dominada contradiría las áreas ya calculadas.
No puede intercambiarse el límite con la integral.
La concentración conserva el área aunque cada punto fijo deje de verla. No se trata de que las integrales individuales no existan.
Los símbolos que hemos usado
- fₙ, f
- Funciones de la sucesión y su límite sobre un dominio común.
- ‖fₙ−f‖∞
- Supremo del error de valores sobre ese dominio.
- [a,b]
- Intervalo real cerrado de longitud finita b−a.
- g
- Función dominadora integrable o límite de derivadas, según se declare en cada teorema.
- μ
- Medida utilizada al hablar de integración de Lebesgue.
- Casi en todas partes
- Fuera de un conjunto de medida cero.
- S_N
- Suma parcial de una serie de funciones, a la que se aplican teoremas de sucesiones.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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