Evalúa en x=0,2 el Taylor de grado 2 de cos x en 0.
El polinomio es 1−x²/2.
El polinomio dado es 1−x²/2. En 0,2 el cuadrado vale 0,04.
Dividimos0,04 entre 2 y restamos0,02 a 1.
El valor del polinomio es 0,98; es una aproximación a cos0,2, no una igualdad con esa función.
¿Cuál es el coeficiente de x³ en el Taylor de e^x en 0?
Divide la tercera derivada en cero por 3!.
La tercera derivada de eˣ en 0 vale 1.
Por tanto el coeficiente es 1/6, no1/3.
Calcula lim(x→0)(1−cos x)/x².
Utiliza cos x=1−x²/2+o(x²).
Coseno tiene expansión1−x²/2+o(x²) en cero.
Al restar de 1 obtenemos x²/2+o(x²).
Obtén el Taylor de grado 2 de log(1+x) en cero.
Calcula f(0), f′(0) y f″(0).
Es una aproximación local dentro de x>−1; una afirmación sobre toda la serie requiere controlar su resto.
Explica por qué evaluar muchas derivadas en a no basta para asegurar que f es igual a su serie.
Distingue polinomios finitos y límite del resto.
Cada Taylor finito es una igualdad con un resto Rₙ.
Para asegurar igualdad con una serie en un x fijo hay que probar Rₙ(x)→0 al aumentar n.
La suavidad por sí sola no lo implica; la función prolongada e^(−1/x²) tiene todos los coeficientes cero en 0 sin ser cero alrededor.