Aproximación de Taylor y control del resto

El modelo lineal usa f(a)+f′(a)h. Añadir una potencia h² permite ajustar también la segunda derivada. No sustituimos el incremento por x si el centro no es cero.

Taylor de orden n busca un polinomio con las mismas derivadas hasta orden n en a.

Elegir un centro con valores conocidos simplifica las cuentas; la cercanía a ese centro influye en el error.

Los términos de menor grado ya se han anulado y los de mayor grado todavía contienen una potencia de h.

No dividimos todas las derivadas por n!. Algunos coeficientes pueden ser cero, así que orden n no garantiza que el grado efectivo sea exactamente n.

Si omitimos el resto escribimos aproximadamente, salvo que sepamos que sea cero. El signo del resto indica si el polinomio se queda por debajo o por encima.

El dibujo de x² y su tangente permite calcular el resto completo: en a=2, f(2+h)=4+4h+h². La parte lineal es 4+4h y el resto h². Para otra función quizá no conozcamos el resto exacto, pero podremos acotarlo.

El símbolo o no es una cantidad concreta: describe una relación de tamaños en un límite.

Al dividir por una potencia debemos conocer un resto de orden adecuado.

Primero identificamos las cancelaciones y el denominador; después escogemos cuántos términos hacen falta.

Una condición suficiente es que f sea Cⁿ⁺¹ en un entorno del segmento entre a y x. Entonces, para x≠a, existe ξ entre ambos con Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)!. Normalmente no sabemos ξ, pero sí podemos acotar la derivada en todos sus lugares posibles.

Elegir M solo con la derivada en el centro puede dar una cota falsa. Si conocemos el signo del resto también podemos decidir hacia qué lado queda la aproximación.

Antes de calcular muchas derivadas elegimos centro, intervalo, cota M y tolerancia. Probamos un grado y comprobamos su resto. Más términos pueden ayudar, pero una garantía requiere demostrarlo con la cota adecuada; alejarse del centro o aumentar las derivadas puede empeorarla.

Separaremos error de truncación y error de evaluación. Si el polinomio se redondea, el error total es como mucho la suma de ambos. Redondear una aproximación a cierto número de decimales no demuestra por sí solo que esas cifras sean correctas.

Observamos primero el numerador. Si restamos uno y el término lineal de eˣ, el primer término que queda es x²/2. Si después restamos también ese cuadrático, necesitamos mirar el cúbico. El denominador indica cuánta precisión debe conservarse.

Las expansiones se usan en un entorno donde sus funciones estén definidas. Antes de dividir, dejamos explícito el resto y mantenemos x≠0. Un resultado de límite no afirma que la razón sea constante para todo x.

Una serie de Taylor suma infinitos grados para un x fijo: necesitamos Rₙ(x)→0 al aumentar n. Son dos límites distintos. Ser infinitamente derivable no garantiza ser igual a su serie en un entorno.

Todas sus derivadas en cero son cero, aunque f(x)>0 fuera de cero. La razón es que e^(−1/x²) decae más rápido que cualquier potencia de |x|; cada derivada fuera de cero es esa exponencial multiplicada por un polinomio en 1/x.

ln(1+x) existe para x>−1, pero su serie centrada en cero tiene radio uno. La convergencia dentro del radio no decide automáticamente los extremos. Para afirmar igualdad con la función en un punto también justificamos que el resto tienda a cero.

Al terminar revisamos centro, factoriales, dominio, segmento para M y tipo de conclusión. Podemos haber obtenido un valor exacto, una aproximación con error o un límite; cada uno exige una frase final diferente.