EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula lim(x→3)(2x²−1).
- PISTA 1
Una pista
Los polinomios son continuos.
Un desarrollo posible.
2x²−1 es un polinomio y es continuo en 3.
El límite coincide con su valor: 2×3²−1.
- 3²=9 y 2×9−1=17.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
¿Qué valor debe tener f(1) para hacer continua f(x)=(x²−1)/(x−1) fuera de 1?
- PISTA 1
Una pista
Simplifica para x≠1.
Un desarrollo posible.
- Para x≠1, (x²−1)/(x−1)=x+1.
El límite en 1 es 2.
Para que la función extendida sea continua debe asignarse f(1)=2, igual a ese límite.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula lim(x→0) sin(x)/x, con x en radianes.
- PISTA 1
Una pista
Es el límite trigonométrico fundamental.
Un desarrollo posible.
Con x en radianes y 0<|x|<π/2, la comparación geométrica da cos x≤sin x/x≤1.
Al tender x a 0, cos x y la constante1 tienden ambos a 1.
El teorema del encaje da el límite1; no se dividió sin0 entre 0.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Explica por qué lim(x→0)|x|/x no existe.
- PISTA 1
Una pista
Calcula los dos laterales.
Un desarrollo posible.
Con x>0, |x|/x=1, así que el límite derecho vale 1.
Con x<0, |x|=−x y el cociente vale−1: ese es el límite izquierdo.
Como no coinciden, no existe límite bilateral en 0.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Demuestra que x³+x−1 tiene una raíz entre 0 y 1.
- PISTA 1
Una pista
Aplica el teorema del valor intermedio.
Un desarrollo posible.
El polinomio es continuo en todo R y, en particular, en[0,1].
En 0 vale−1 y en 1 vale 1; cero está entre esos valores.
- El teorema del valor intermedio da c∈(0,1) con c³+c−1=0.
No determina aún su valor exacto.