Límites y continuidad de funciones reales

Una función da una salida a cada entrada de su dominio. Si f(x)=2x−1, la letra x ocupa el lugar de la entrada: primero duplicamos y después restamos uno. f(3) pide el resultado de introducir 3; no es una multiplicación por f.

En la pareja (x,f(x)), la entrada se coloca horizontalmente y la salida verticalmente. Al estudiar un límite seguiremos cambiando la entrada y observaremos qué sucede con la salida. Las dos cantidades no tienen por qué acercarse al mismo número.

Acercar x a 3 significa usar entradas próximas a 3. Por la izquierda usamos números menores, como 2,9 y 2,99; por la derecha, mayores, como 3,1 y 3,01. No estamos sumando infinitas filas ni asignando a x un misterioso valor final.

Escribimos x→3 para la aproximación de entrada y f(x)→5 para la de salida. El límite que buscamos es una salida, aunque la flecha de entrada señale el número 3.

Evaluar f(3) usa exactamente la entrada 3. Estudiar el límite cuando x→3 examina entradas distintas de 3 que se acercan a ella. Podemos cambiar, borrar o rellenar solo el valor del punto sin cambiar ninguno de sus vecinos.

Un círculo vacío en una gráfica indica que esa pareja está excluida. Un punto lleno indica una pareja incluida. El límite se decide por el comportamiento próximo, no por escoger el símbolo que parezca más alto.

El dominio D reúne las entradas admitidas.

Pedimos además que a sea un punto de acumulación de D: por pequeña que elijamos una distancia positiva, debe existir una entrada de D distinta de a dentro de esa distancia. Así siempre hay vecinos que examinar. No exigimos que a pertenezca al dominio.

Una proximidad se describe con una distancia: |x−a|<δ, donde δ es un número positivo.

Cada lado necesita entradas del dominio arbitrariamente próximas por ese lado.

Si los dos lados están disponibles, hay límite bilateral finito exactamente cuando ambos laterales existen y tienen el mismo valor. Si coinciden, una cercanía que funcione en ambos lados es la menor de las dos cercanías laterales.

En un extremo como 0 para √x no existe lado izquierdo real disponible. Podemos estudiar el límite derecho y también el límite relativo al dominio [0,∞). No afirmamos que exista una aproximación real por la izquierda.

Una tabla calcula un número finito de entradas. Puede sugerir el límite o revelar que una conjetura falla. Para demostrarlo necesitamos una razón que cubra cualquier vecino permitido suficientemente próximo.

No hay un número fijo de decimales que convierta una observación en una prueba. Una función puede cambiar de comportamiento dentro de una zona todavía más pequeña que las entradas que calculamos.

Imagina que aceptamos una salida dentro de una banda alrededor de 5. Una tolerancia ε=0,2 significa exigir |f(x)−5|<0,2: la salida debe quedar entre 4,8 y 5,2, sin incluir esas fronteras.

Nuestra tarea es encontrar una cercanía de entrada δ>0 que asegure esa precisión para todos los vecinos. ε se lee «épsilon» y mide error de salida; δ se lee «delta» y mide error de entrada. Son distancias, no valores de la función.

Decimos que lim(x→a)f(x)=L si para cada ε>0 podemos elegir δ>0 de modo que todo x∈D con 0<|x−a|<δ cumpla |f(x)−L|<ε.

El orden es decisivo: primero cualquier precisión ε; después una cercanía δ; después todos los vecinos que la respeten. δ puede depender de ε, de a y de la función. No puede elegirse de nuevo después de inspeccionar cada x.

La condición 0<|x−a| excluye el centro, no las entradas a un lado. Las dos desigualdades estrictas hablan de bandas abiertas. Los símbolos solo condensan una garantía que ya sabemos leer con distancias.

Para construir una prueba empezamos por el error que queremos hacer pequeño, |f(x)−L|. Lo simplificamos hasta relacionarlo con |x−a|. Esa cuenta sugiere una δ; después escribimos la verificación en el orden de la definición.

Si la regla es constante, el error de salida es cero y no hay que dividir entre una pendiente cero.

El primer factor se hace pequeño; el segundo todavía cambia con x. Antes de elegir δ necesitamos controlar también ese factor.

Una condición sencilla como |x−1|<1 obliga a 0<x<2, de modo que |x+1|<3.

Elegir la menor de dos cotas positivas garantiza las dos a la vez: δ=min(1,ε/3).

Supongamos que una función tuviera dos límites diferentes L y M en el mismo punto de acumulación a.

Con radios d/3, las bandas alrededor de L y M quedarían separadas.

Cada supuesto límite promete una cercanía. Usamos la menor de ambas y escogemos un vecino permitido dentro de ella; existe por acumulación. Su salida tendría que pertenecer a las dos bandas, algo imposible. Por eso el límite, cuando existe, es único.

Si f(x)→L y g(x)→M, con límites finitos en el mismo acercamiento, sus sumas, diferencias y productos tienden a L+M, L−M y LM. Se trabaja en un dominio común con vecinos suficientes.

Entonces g(x) permanece separada de cero cerca del punto. Si sustituir produce 0/0, no hemos obtenido un número: la regla del cociente no decide y debemos estudiar la expresión.

Los polinomios y las funciones elementales continuas permiten sustituir en los puntos donde están definidas. Esta posibilidad es una propiedad con condiciones, no la definición universal de límite.

La factorización reescribe sumas como productos. Para cancelar un factor, ese factor debe ser distinto de cero en las entradas que estamos usando. En un límite podemos trabajar fuera del punto; no por ello añadimos ese punto al dominio original.

Con raíces puede ser útil multiplicar por el conjugado. Si aparece √x−2, su conjugado es √x+2: el producto es x−4. En cada paso revisamos las condiciones de raíces y denominadores.

Supón que g(x)≤f(x)≤h(x) para todos los vecinos permitidos de una zona del punto. Si g y h tienden al mismo L, f también tiende a L. Es el teorema del encaje.

La razón es una garantía de bandas: dada una tolerancia, los dos extremos terminan dentro de ella; cualquier número que esté entre ambos también queda dentro. La desigualdad debe valer en toda esa zona, no solo en una tabla.

En la circunferencia unidad y para 0<x<π/2, el triángulo inscrito, el sector y el triángulo tangente tienen áreas ordenadas. Sus áreas son sen(x)/2, x/2 y tan(x)/2. La del sector es x/(2π) de un círculo de área π, por eso vale x/2 y utiliza radianes.

Dividir por cantidades positivas permite deducir cos x<sen x/x<1. Para ver que cos x→1 sin suponer el límite que queremos demostrar, usamos |sen t|≤|t| cerca de cero, obtenido de la misma comparación y de la simetría. La identidad 1−cos x=2 sen²(x/2) da 0≤1−cos x≤x²/2 en esa zona.

Por encaje, cos x→1 y después sen x/x→1 para x>0. El cociente sen x/x es par: cambiar x por −x conserva su valor. Por eso el mismo límite vale por la izquierda y el límite bilateral es 1.

Decir f(x)→+∞ al acercarnos a a significa que podemos superar cualquier altura M>0 usando todos los vecinos suficientemente próximos del acercamiento indicado. La conclusión no es un límite real finito. Para −∞ pedimos salidas menores que −M.

En cambio, x→+∞ describe entradas que superan cualquier umbral, no entradas próximas a un punto real. Si f(x)→L en ese proceso, para cada ε>0 debe existir un umbral A tal que todo x del dominio con x>A cumpla |f(x)−L|<ε.

Estas afirmaciones necesitan que el dominio tenga entradas suficientes en el acercamiento estudiado. No tratamos ∞ como un número que admite sumas, productos o divisiones ordinarias.

Una función f:D→ℝ es continua en a∈D si para cada ε>0 podemos elegir δ>0 tal que todo x∈D con |x−a|<δ cumpla |f(x)−f(a)|<ε. Ahora el centro está permitido y la salida de referencia es f(a).

Si a es de acumulación, esto equivale a que exista el límite relativo al dominio y coincida con f(a). Para comprobarlo separamos tres preguntas: ¿existe f(a)?, ¿existe el límite?, ¿son iguales? En un extremo del dominio utilizamos el lado disponible.

Un punto aislado es diferente: puede elegirse una zona que solo contenga ese punto del dominio. La distancia de salida es entonces cero y la continuidad relativa se cumple automáticamente. No afirmamos por ello un límite punturado único.

En una función definida por partes, cada fórmula puede comportarse bien en su zona y aun así fallar la unión. En una costura comparamos el lateral izquierdo, el derecho y el valor asignado al punto.

Si el límite finito existe pero falta el valor o es distinto, podemos prolongar o corregir la función para hacerla continua allí: hablamos de un hueco o una discontinuidad evitable de esa representación. Si los laterales finitos son distintos, hay un salto. Una oscilación persistente puede impedir incluso que existan los laterales.

Estrictamente, continuidad en a se define cuando a pertenece al dominio. Si hay un hueco fuera del dominio, estudiamos si existe una extensión continua a ese punto; no lo confundimos con un valor ya definido que es incorrecto.

Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuos en su dominio común. Los cocientes también lo son donde el denominador no vale cero. Para una composición f∘g, necesitamos que g sea continua en la entrada y f continua en la salida intermedia g(a).

Esta es una forma de justificar la sustitución en muchas expresiones elementales. Antes de usarla seguimos revisando denominadores, raíces y logaritmos: las propiedades de continuidad no eliminan restricciones del dominio.

Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], con a<b, toma todos los valores entre f(a) y f(b). En particular, si los valores extremos tienen signos estrictamente opuestos, existe al menos una raíz en el interior (a,b).

La continuidad evita saltos y el intervalo conecta las entradas. El teorema no calcula la raíz ni asegura que sea única. Si queremos acotar mejor una raíz, podemos dividir el intervalo y conservar una mitad con signos opuestos; cada paso vuelve a utilizar las mismas hipótesis.

Podemos entender la existencia mediante intervalos cerrados encajados de bisección: se conserva un cambio de signo y las longitudes se reducen a la mitad. La completitud de ℝ garantiza que estos intervalos no dejan un hueco entre ellos, sino que determinan un punto común. Como los extremos se aproximan a él con valores de signos opuestos, la continuidad obliga a que su valor sea cero.

Si un punto medio ya da cero, la raíz se encuentra en ese paso.

Un máximo es una salida que la función toma y que es mayor o igual que todas las demás; un mínimo se define de forma análoga. Estar acotada solo significa no superar ciertos límites de altura: esas cotas pueden no alcanzarse.

El teorema de los extremos garantiza que una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b] alcanza máximo y mínimo. «Cerrado» incluye las fronteras; «acotado» impide escapar indefinidamente; continuidad controla las salidas. Esta garantía es una consecuencia de la compacidad de ese dominio.

Son condiciones suficientes para garantizar extremos, no una lista que toda función con extremos deba cumplir. Si falta una hipótesis el teorema deja de decidir; habrá que estudiar el caso, que podría tener extremos o no.

Antes de concluir, nombra la afirmación: límite finito, lateral, crecimiento sin cota, continuidad, existencia de una raíz o existencia de extremos. Después relaciona cada conclusión con sus condiciones. Así una cuenta correcta no termina sosteniendo algo que no demuestra.

Una tabla ayuda a conjeturar; una identidad o desigualdad controla todos los vecinos. Un cambio de signo con continuidad asegura alguna raíz; no su número exacto. Una función acotada puede no alcanzar sus cotas. El dominio debe seguir presente desde la primera operación hasta la última frase.