Funciones elementales y composición

Una tienda prepara cuadernos para regalar. Cada cuaderno cuesta 3 € y preparar el paquete cuesta 1 €, una sola vez. Si eliges cuántos cuadernos compras, la regla permite calcular el precio.

La cantidad que elegimos se llama entrada. El precio que obtenemos es la salida. En cada ejemplo mantenemos la misma regla: multiplicar la entrada por 3 y sumar 1.

Una función asigna una única salida a cada entrada admitida. Puede describirse con palabras, una tabla, un dibujo o una fórmula. Empezamos haciendo trabajar la regla.

La letra f es su nombre; x ocupa el lugar de la entrada. 2x significa 2 multiplicado por x.

f(3), que leemos «efe de tres», pide la salida correspondiente a la entrada 3. Sustituimos todas las x de la fórmula por 3. f(3) no significa f multiplicado por 3.

Una entrada también puede ser negativa o una expresión completa. Los paréntesis conservan esa entrada como un bloque mientras hacemos las operaciones.

La pareja (entrada, salida) se escribe (x,f(x)). En una gráfica, la primera coordenada se lee horizontalmente y la segunda verticalmente.

Una tabla recoge algunas parejas. La gráfica completa recoge todas las parejas permitidas. Un dibujo suele mostrar solo una ventana de esa gráfica: la función puede continuar fuera del papel.

Calcular una salida y encontrar una entrada son tareas distintas. La primera empieza con x; la segunda empieza con un valor que queremos obtener.

El dominio reúne todas las entradas admitidas. El conjunto de llegada, también llamado codominio, indica en qué conjunto buscamos las salidas. El recorrido o imagen reúne las salidas que efectivamente se obtienen.

Escribimos f:A→B para indicar dominio A y conjunto de llegada B. La flecha significa que la función va de A a B; f(A) representa su recorrido. Todas las salidas deben pertenecer a B, aunque algunos elementos de B pueden no alcanzarse.

Usaremos ℝ para el conjunto de todos los números reales. Un intervalo como [1,3] incluye sus extremos y todos los reales intermedios. Un paréntesis excluye el extremo. El símbolo ∞ describe que seguimos sin límite; no es un número que podamos incluir.

La condición de función se comprueba mirando cada entrada: debe tener exactamente una salida. Dos entradas distintas pueden compartir salida.

Una preimagen de y es una entrada que produce y. Puede haber ninguna, una o varias. Más adelante veremos que para invertir una función necesitamos controlar esa cantidad.

Un polinomio combina sumas y productos de x con exponentes enteros no negativos: 0, 1, 2… Sus coeficientes son los números fijos que multiplican esas potencias.

En 4x²−3x+2, los coeficientes son 4, −3 y 2. El término constante 2 no cambia con la entrada. Para evaluar un polinomio no dividimos entre una expresión con x ni calculamos raíces de x; por eso admite todo real.

El grado de un polinomio no nulo es el mayor exponente cuyo coeficiente no es cero. Una regla de grado 1 tiene una gráfica recta; una de grado 2 tiene una parábola. La forma de la gráfica debe corresponder a la fórmula.

Una función racional es un cociente P(x)/Q(x) de polinomios, donde Q no es el polinomio cero. Para cada entrada concreta, el denominador debe ser distinto de cero.

Para hallar su dominio máximo real, resolvemos Q(x)=0 y excluimos esas entradas. El numerador puede valer cero: cero dividido entre un número no nulo sí está definido.

Cuando una fórmula se simplifica, conservamos las restricciones de la expresión original. Una cancelación no crea valores donde antes había una división entre cero.

La raíz cuadrada principal √a es el número no negativo cuyo cuadrado es a.

Una raíz de índice par sigue la misma restricción; una de índice impar también admite radicandos negativos.

No confundimos la raíz principal con resolver una ecuación. √9=3 tiene un valor; x²=9 tiene las soluciones x=3 y x=−3.

Una potencia x^(p/q), con p entero y q entero positivo, se interpreta después de reducir p/q. Si q es par, pedimos x≥0; si q es impar, también puede ser negativa. Si p<0 aparece además una división y debemos excluir x=0. Un exponente cero da 1 para una base no nula; aquí no asignamos un valor a 0⁰.

En x² cambia la base x y el exponente 2 queda fijo. En 2ˣ ocurre lo contrario: la base 2 está fija y la entrada x es el exponente. Esta segunda regla es exponencial.

Para b>0 y b≠1, bˣ se define para todo x real y siempre da una salida positiva.

En ambos casos cada salida positiva aparece una sola vez.

La base e es un número positivo especial, aproximadamente 2,718. Escribimos eˣ o exp(x) para la misma exponencial. Más adelante sus derivadas explicarán por qué resulta especialmente cómoda.

El logaritmo hace la pregunta al revés: ¿a qué exponente elevamos 2 para obtener 8?

La base y el argumento cumplen funciones distintas: la base fija la exponencial y el argumento es la salida que queremos recuperar.

ln es el logaritmo de base e. En esta lección, si aparece log sin base, también significa ln. La exponencial y su logaritmo deshacen sus operaciones en los dominios correspondientes.

Tomamos una circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Un ángulo θ parte del eje horizontal positivo. Al girar hasta un punto de la circunferencia, su coordenada horizontal es cos θ y la vertical es sen θ.

Los ángulos se medirán en radianes. Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio; en nuestra circunferencia de radio 1, el número de radianes coincide con la longitud del arco recorrido. Media vuelta son π radianes y una vuelta completa, 2π.

Como las dos coordenadas están entre −1 y 1, esos son los límites de seno y coseno.

Una vuelta completa nos devuelve al mismo punto: sen(θ+2π)=sen θ y cos(θ+2π)=cos θ. Esa repetición se llama periodicidad. La tangente se define como sen θ / cos θ; además de conocer las coordenadas, debe estar permitida esa división.

Para sumar, restar o multiplicar funciones en una entrada x, necesitamos poder calcular tanto f(x) como g(x). Usamos la intersección de sus dominios: las entradas que pertenecen a ambos.

Estas operaciones utilizan la misma entrada en las dos funciones. En la composición, que veremos después, la salida de una pasa a ser entrada de la otra.

Componer dos funciones significa hacer dos transformaciones seguidas. En f(g(x)), empezamos por g(x), que está dentro de los paréntesis; después aplicamos f a ese resultado.

La misma composición se escribe (f∘g)(x). El pequeño círculo significa composición, no multiplicación. Antes de sustituir fórmulas, sigamos dos recorridos con números.

Primero, x tiene que ser una entrada admitida por la función interior g. Segundo, su salida g(x) tiene que ser una entrada admitida por f. Escribimos estas dos condiciones como x∈Dom(g) y g(x)∈Dom(f).

No basta intersectar los dominios de f y g como al sumarlas: f recibe g(x), no x. Las restricciones deben aplicarse a lo que realmente entra en cada etapa.

Una inversa deshace la función: recibe una salida y recupera la entrada que la produjo. Se escribe f⁻¹; ese símbolo no significa el recíproco 1/f.

Para invertir f:A→B, cada elemento de B tiene que alcanzarse y debe venir de una única entrada de A. Alcanzar todo B se llama sobreyectividad; no compartir salidas entre entradas distintas se llama inyectividad. Si ocurren ambas, la función es biyectiva.

Podemos tomar B igual al recorrido y así asegurar que todo B se alcanza. Aun entonces necesitamos que cada salida tenga una única preimagen. Veamos primero qué significa deshacer con ejemplos.

Ahora podemos volver al seno. Se repite cada 2π: por ejemplo, sen 0=sen π=0. Por eso no tiene inversa si permitimos cualquier ángulo real como entrada.

Elegimos el intervalo [−π/2,π/2]. En ese tramo el seno crece desde −1 hasta 1 sin repetir salidas. Su inversa se llama arcsin: recibe un número entre −1 y 1 y devuelve el único ángulo de ese tramo que tiene ese seno.

El intervalo elegido es la rama principal. La inversa devuelve una entrada de esa rama, aunque la expresión inicial utilizase un ángulo distinto.

Las potencias racionales ya tenían una interpretación mediante raíces. Para definir xᵃ con un exponente real general a, usamos las funciones que acabamos de construir: xᵃ=exp(a ln x), para x>0.

La base x debe ser positiva porque primero calculamos ln x. Esta definición no impide que algunas potencias especiales, como x² o ∛x, tengan además una definición válida en entradas negativas. Debemos saber cuál es la función que estamos estudiando.

Al justificar un dominio hay dos preguntas. ¿Cada entrada que propongo permite todas las operaciones? ¿He excluido únicamente las que fallan? La primera comprueba que la condición basta; la segunda, que es necesaria.

Los ejemplos concretos ayudan a entender y a detectar fallos, pero tres entradas que funcionan no demuestran una afirmación para todos los reales. Una desigualdad o una identidad válida en todo el conjunto completa esa justificación.

Para una inversa hacemos también dos recorridos: primero f y después f⁻¹, y primero f⁻¹ y después f. En cada recorrido conservamos el dominio que permite sus operaciones.