Derivación y aproximación lineal

Tomamos una entrada a y otra cercana a+h, con h≠0. El cambio de salida es f(a+h)−f(a), no f(h). Dividir por h da una tasa media. En una gráfica es la pendiente de la secante que une los dos puntos.

Si f representa posición en metros y la entrada tiempo en segundos, esa tasa se mide en metros por segundo. La pendiente puede cambiar cuando elegimos otro intervalo. Una función afín, en cambio, tiene la misma pendiente entre cualquier pareja de entradas distintas.

En un punto interior, f′(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h, si el límite existe y es real finito. Los incrementos de ambos signos deben dar el mismo valor. No evaluamos el cociente en h=0: consideramos puntos vecinos con h no nulo.

Una calculadora con un solo h pequeño sugiere una pendiente, pero no prueba el límite. Puede haber pendientes laterales distintas o un crecimiento sin límite finito. En un extremo del dominio distinguimos derivada lateral de derivada bilateral ordinaria.

Primero calculamos f(a), después f′(a) y al final escribimos la recta. El símbolo x de L sigue siendo variable; a es la entrada de referencia ya fijada.

No definimos tangente como una recta que nunca cruza la gráfica: puede cruzarla. Si queremos la normal y la pendiente tangente m es no nula, su pendiente es −1/m. Si m=0, la normal es vertical; no intentamos dividir por cero.

Si el cociente incremental tiende al número finito m, podemos escribir f(a+h)−f(a)=h[m+η(h)], con η(h)→0. El corchete se mantiene acotado y h→0, por lo que el cambio de salida tiende a cero. Esa es la continuidad en a.

Para demostrar que la vuelta falla basta un contraejemplo: |x| es continua en cero pero tiene esquina. Una función discontinua no puede tener allí derivada finita. Antes de usar reglas algebraicas conviene comprobar que la función y el punto estén bien definidos.

Donde las funciones son derivables, derivamos sumas término a término y conservamos factores constantes. Una constante tiene derivada cero; (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ para n entero positivo.

Para ángulos medidos en radianes, (sin x)′=cos x y (cos x)′=−sin x. La variable de una fórmula trigonométrica no representa grados si usamos esas reglas sin un factor adicional.

En el dibujo cambian los dos lados de un rectángulo. El cambio exacto es gΔf+fΔg+ΔfΔg. Dividir por el incremento y pasar al límite deja las dos contribuciones de primer orden.

Para un cociente, (f/g)′=(f′g−fg′)/g² donde g≠0 y ambas funciones son derivables. Al montar la fórmula conservamos paréntesis, sobre todo al restar el segundo producto. El denominador original no puede recuperar ceros al simplificar.

En f(g(x)), la entrada de f es g(x).

Derivamos fuera conservando la expresión interior y después multiplicamos por la derivada de dentro.

El esquema muestra dos etapas sencillas. En una composición más larga las nombramos una a una. La fórmula sigue siendo válida cuando g′(a)=0; no necesitamos dividir por ese número para aplicarla.

No basta r(h)→0: cualquier recta por el punto tendría un error que tiende a cero si f es continua. La condición relativa al incremento selecciona la pendiente correcta.

La definición por sí sola no da una cota para un h concreto. Con segunda derivada acotada por M en el segmento, Taylor da |r(h)|≤M h²/2. Distinguimos una estimación local de una garantía numérica que necesita esa información adicional.

f′(a) tiene unidades de salida por unidad de entrada. Multiplicar por h recupera unidades de salida y permite sumar a f(a). La predicción usa un incremento x−a, no la entrada x completa.

Pendiente cero no prueba extremo, como mostró x³ en cero. Una fórmula simplificada tampoco restaura puntos que no pertenecen al dominio original. Existencia, valor e interpretación de una derivada son tres comprobaciones diferentes.