Teoremas del valor medio y aplicaciones

Un depósito tiene 8 litros en el minuto 1 y 20 litros en el minuto 4.

Su tasa media de cambio es 12/3=4 litros por minuto.

La palabra «media» importa: ese cociente resume el intervalo completo. No afirma que en cada minuto entraran exactamente cuatro litros. Puede haber ritmos diferentes que produzcan el mismo cambio total.

Para una función f y dos entradas a<b, el cambio de salida es f(b)−f(a) y el de entrada b−a. Su cociente se escribe [f(b)−f(a)]/(b−a). Las letras a y b nombran entradas, no salidas; usamos el mismo orden en las dos diferencias.

La recta que pasa por dos puntos distintos de una gráfica se llama secante. Para (a,f(a)) y (b,f(b)), su pendiente mide el cambio vertical dividido entre el horizontal. Es el mismo cociente que acabamos de interpretar como tasa media.

Una pendiente puede ser positiva, negativa o cero. Cuando relacionamos una pendiente numérica con la inclinación dibujada, debemos leer las escalas de ambos ejes: estirar un dibujo no cambia el cociente calculado con sus coordenadas.

Fijamos una entrada a y escribimos la segunda como a+h.

Puede ser positiva o negativa. En algunos textos se escribe Δx, leído «delta equis», con el mismo significado.

El cambio de salida es f(a+h)−f(a), también llamado Δf.

No sustituimos h=0 dentro de este cociente; queremos estudiar su límite cuando h se acerca a cero.

Supongamos que f está definida en un intervalo abierto alrededor de a. Si el límite de [f(a+h)−f(a)]/h cuando h→0 existe como número real finito, lo llamamos derivada de f en a y lo escribimos f′(a), leído «efe prima de a».

Decimos entonces que f es derivable en a. Para una derivada bilateral, los incrementos positivos y negativos deben llevar al mismo límite. Un crecimiento sin cota de esos cocientes no es una derivada real finita.

Al estudiar una posición en función del tiempo, esta derivada es velocidad instantánea. Si estudiamos volumen en función del tiempo, es una tasa instantánea en litros por minuto. La interpretación depende de qué representan las variables.

Cuando existe una derivada finita en a, llamamos tangente a la recta que pasa por (a,f(a)) con pendiente f′(a).

No confundir la recta completa con el número que mide su pendiente.

La tangente describe el comportamiento local. No se define como una recta que «solo toca una vez»: puede cruzar la curva o volver a cortarla lejos del punto. La definición útil conserva el punto y el límite de pendientes.

Si podemos derivar en varias entradas, asociamos a cada una su pendiente. Esa nueva regla es la función derivada f′. Por ejemplo, para f(x)=x², expandir (a+h)² demuestra f′(a)=2a en cada a; podemos escribir la regla general f′(x)=2x.

Nombra la derivada de la salida y respecto de la entrada x; en este tema no la tratamos como el cociente de dos números ordinarios llamados dy y dx. Siempre indicaremos qué variable se modifica.

Las cuentas con límites permiten obtener reglas sin volver a expandirlo todo. La derivada de una suma es la suma de derivadas y un factor constante puede sacarse: esto se justifica separando los cocientes de incrementos y aplicando las leyes de límites.

Ya sabemos que la derivada de x es 1, la de x² es 2x y la de una constante es 0. Usaremos estas reglas solo en entradas donde las funciones sean derivables. Recuperaremos también la raíz y el seno, porque aparecerán en aplicaciones; los ángulos se miden en radianes.

El primer factor tiende a 0 y el segundo a f′(a), por lo que la diferencia tiende a 0: f(a+h)→f(a). Esa es la continuidad en a.

La conclusión funciona en esa dirección. Continuidad solo controla las alturas próximas; no garantiza que sus cocientes de cambio tengan un límite común. Necesitamos examinar esas pendientes antes de afirmar derivabilidad.

Para decidir derivabilidad calculamos cocientes por ambos lados. En |x| alrededor de 0, el cociente es |h|/h: vale −1 a la izquierda y 1 a la derecha. La función es continua, pero no hay una pendiente bilateral única.

También puede ocurrir que ambos lados crezcan sin cota. Esa situación puede describirse geométricamente como una tangente vertical; no da una derivada real finita. No reemplazamos esa distinción por escribir que «la derivada vale infinito».

En los teoremas que siguen, derivable significa que existe la derivada real finita en cada punto requerido. No se exige además que la función derivada sea continua.

Un mínimo local en c significa que f(c) no supera las salidas de una zona de c; un máximo local significa que no es menor que ellas. «Local» compara vecinos, no necesariamente todo el dominio.

El teorema de Fermat afirma: si c es interior, f tiene allí un máximo o mínimo local y f es derivable en c, entonces f′(c)=0. La tangente es horizontal. Las tres condiciones forman parte de la afirmación.

Al dividir por h>0, el cociente es no positivo; al dividir por h<0, es no negativo. Si ambos tienden a la misma derivada, esa derivada tiene que ser a la vez ≤0 y ≥0: debe valer 0.

Fermat proporciona una condición necesaria para un extremo interior derivable. No dice que cualquier punto con derivada cero sea un extremo. Tampoco describe los extremos situados en la frontera de un intervalo.

Para decidir un extremo concreto podemos comparar las salidas a ambos lados. Para usar un teorema debemos respetar su dirección: no intercambiamos hipótesis y conclusión.

Rolle exige que f sea continua en todo [a,b], derivable en (a,b) y cumpla f(a)=f(b).

Los corchetes [a,b] incluyen los extremos; los paréntesis (a,b) los excluyen. La continuidad se pide también en los extremos, mientras que las derivadas solo se piden dentro. La conclusión encuentra un punto interior, no una nueva condición en las fronteras.

La continuidad en un intervalo cerrado y acotado asegura que se alcanzan un máximo y un mínimo globales. Si la función es constante, ya sabemos que cualquier derivada interior vale cero.

Si no es constante y sus extremos tienen altura K, alguna salida interior es mayor o menor que K. Entonces un máximo o un mínimo global con esa altura diferente debe ocurrir dentro, porque ninguno de los extremos tiene ese valor. Allí podemos aplicar Fermat.

Rolle y el valor medio examinan la regularidad en el intervalo que hemos declarado. Una esquina distante no los invalida por sí sola. A la vez, no podemos ignorar una sola esquina que esté dentro.

Tampoco hay que añadir una exigencia inexistente: Rolle no pide derivadas finitas en los extremos. Sí necesita que las salidas se unan continuamente con sus valores de frontera.

El teorema del valor medio de Lagrange mantiene dos hipótesis: f continua en [a,b] y derivable en (a,b), con a<b.

No exige que las alturas de los extremos coincidan.

El resultado enlaza una tasa global y una local. En el dibujo, la tangente en c es paralela a la secante. No afirma que c sea el punto medio, que sea único ni que f′ sea constante en el resto del intervalo.

Pasa por los dos extremos de la gráfica.

F conserva continuidad y derivabilidad en los lugares requeridos.

Como la derivada de ℓ es la constante m, esa igualdad dice f′(c)−m=0: la tangente de f tiene la pendiente media. Así se justifica el teorema.

Para aplicar Rolle o Lagrange, la continuidad debe cubrir el cerrado y la derivabilidad todo el abierto. No basta observar que «casi todo» el dibujo es suave o que dos alturas parecen correctas.

Si falta una hipótesis, el teorema no decide: la conclusión podría cumplirse por otro motivo o podría fallar. Un contraejemplo muestra que no podemos eliminar esa hipótesis de la garantía general.

También necesitamos un intervalo completo. Una derivada que tenga buen signo en dos trozos separados no proporciona una comparación entre salidas de trozos distintos si el segmento entre ellas abandona el dominio.

Sea f continua en un intervalo I y derivable en su interior. Para cualesquiera x<y de I, Lagrange en [x,y] da f(y)−f(x)=f′(c)(y−x) con c entre ambos.

Si f′>0 en todos los puntos interiores pertinentes, los dos factores son positivos: f(y)>f(x). Así f es estrictamente creciente.

Los signos negativos dan las conclusiones de disminución correspondientes.

Si I incluye una frontera, la continuidad en ella sigue siendo necesaria para comparar sus valores con los interiores. En un intervalo abierto, derivabilidad ya asegura la continuidad que necesitamos en los pequeños segmentos internos.

Si f′=0 en todo el interior de un intervalo, con la continuidad requerida en sus extremos, Lagrange hace nula cualquier diferencia de salidas: f(y)−f(x)=0. Por tanto f es constante.

El cuantificador «en todo el intervalo» no se puede sustituir por un único punto. Además, si dos funciones tienen la misma derivada en un intervalo, su diferencia tiene derivada cero; por eso difieren en una constante.

Una raíz es una entrada donde la salida es cero. Valores intermedios puede garantizar alguna raíz mediante continuidad y cambio de signo. Para asegurar que solo hay una necesitamos una razón adicional.

Si f es estrictamente creciente en un intervalo, dos entradas distintas no pueden tener la misma salida. Otra ruta: si hubiera dos raíces y se cumplieran las hipótesis de Rolle entre ellas, tendría que aparecer una derivada cero. Una derivada que nunca se anula lo impide.

Supongamos continuidad en [a,b], derivabilidad dentro y |f′(t)|≤M en todo el interior.

Una cota de pendiente se convierte en una cota de diferencia.

No hace falta conocer c. Basta controlar cualquier derivada que el teorema pudiera encontrar. M se elige para todo el segmento utilizado; evaluar la derivada en un único extremo o en el punto medio no proporciona esa garantía.

Si este control vale para cualquier par de entradas de un intervalo con la misma M, se dice que la función es Lipschitz con constante M. Es un nombre para la desigualdad, no una nueva operación.

Una pendiente pequeña en una entrada no asegura que las demás pendientes sean pequeñas. La desigualdad del valor medio necesita una cota para todo punto intermedio posible.

Tampoco toda función derivable en un intervalo admite una única cota de pendiente para el intervalo completo. Podemos tener controles válidos en segmentos pequeños alejados de una frontera y perder un control uniforme al acercarnos a ella.

Esta versión por productos no divide por ninguna cantidad.

Para justificarla, llama A al cambio f(b)−f(a) y B al cambio g(b)−g(a).

Si añadimos g′(t)≠0 para todo t interior, Rolle impide que g(a)=g(b), y podemos dividir: [f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)]=f′(c)/g′(c). Las dos derivadas se evalúan en el mismo c. Aplicar Lagrange por separado no garantiza esa coincidencia.

En una aplicación concreta fijamos primero el intervalo. Revisamos continuidad incluyendo sus extremos y derivabilidad en todo su interior. Después calculamos la pendiente media o la cota que corresponda a la pregunta.

Si buscamos un punto, resolvemos una ecuación para f′(c), no para f(c), y comprobamos que a<c<b. Si buscamos una desigualdad, quizá baste controlar f′ sin encontrar c. Antes de dividir por una longitud o por otro cambio, comprobamos que sea distinto de cero.

Los teoremas anteriores conectan tasas, extremos, orden y diferencias mediante hipótesis precisas. No hemos formulado una regla general para reemplazar un cociente f/g por el cociente f′/g′: L’Hôpital tiene un enunciado y condiciones adicionales que deben estudiarse aparte.