Una tasa dice cuánto cambia algo en cada instante; una integral reúne esas contribuciones. Empezaremos con rectángulos y áreas con signo. Después conectaremos acumular con derivar y usaremos esa conexión para calcular, conservando la diferencia entre un número, una función y una aproximación.
Si necesitas repasar:
1. Cada rectángulo aporta altura por anchura
Para a<b, partimos [a,b] en subintervalos de anchura Δxᵢ y elegimos un punto tᵢ dentro de cada uno. Sumamos f(tᵢ)Δxᵢ. Si f es una velocidad en metros por segundo y Δx un tiempo en segundos, cada producto aporta metros.
Cuando f es continua, al hacer que la mayor anchura tienda a cero, todas esas sumas se acercan al mismo número: la integral definida. Una suma con pocos rectángulos es aproximada; la integral es el límite. No basta aumentar la cantidad de rectángulos si seguimos dejando alguno con anchura grande.
Cuatro rectángulos bajo y sobre una recta
Aproxima ∫₀²x dx con cuatro intervalos iguales.
Anchura
Δx=2/4=1/2.Alturas izquierdas
0,1/2,1,3/2: suma 3; por la anchura, área inferior 3/2.
Alturas derechas
1/2,1,3/2,2: suma 5; área superior 5/2.
1,5≤∫₀²x dx≤2,5.
Como f es creciente, las alturas izquierdas subestiman y las derechas sobreestiman.
Ver qué ocurre al refinar
Usa n subintervalos iguales para esa misma recta.
Base
Δx=2/n; alturas izquierdas 2i/n para i=0,…,n−1.Sumas
La inferior vale (4/n²)n(n−1)/2=2−2/n; la superior, 2+2/n.Límite común
Ambas tienden a dos; la integral también vale dos.
El área exacta del triángulo es dos.
La diferencia entre ambas sumas es 4/n y tiende a cero; explica por qué las cotas aprietan el valor.
2. La integral conserva el signo; el área geométrica suma magnitudes
Donde f es positiva, sus contribuciones suman; donde es negativa, restan. Por eso la integral puede valer cero aunque haya regiones visibles. Para el área entre curva y eje integramos |f| o separamos los tramos de signo y sumamos sus magnitudes.
Con velocidad, integrar v da desplazamiento: posición final menos inicial. Integrar |v| da distancia recorrida. El signo negativo indica sentido de movimiento, no una distancia negativa.
Dos triángulos que se compensan
Calcula integral y área de y=x entre −1 y uno.
Triángulo izquierdo
Base uno y altura uno: área 1/2, contribución integral −1/2.
Derecho
Misma área 1/2, contribución +1/2.
Sumar según la pregunta
Integral cero; área total 1/2+1/2=1.
La integral es cero y el área geométrica uno.
No tomamos el valor absoluto del resultado final para obtener el área: |0| no suma las dos regiones.
Ir y volver
Un móvil lleva 2 m/s durante tres segundos y −1 m/s durante dos. ¿Desplazamiento y distancia?
Primer tramo
2·3=6 m hacia delante.Segundo
−1·2=−2 m de desplazamiento, pero dos de distancia.Totales
Desplazamiento 6−2=4 m; distancia 6+2=8 m.
Cuatro metros netos y ocho recorridos.
Las tasas constantes permiten calcular exactamente las contribuciones como rectángulos.
3. Linealidad, tramos y orientación se leen antes de calcular
Invertir extremos cambia la orientación de la acumulación.
Una cota válida en un solo punto no permite esta conclusión sobre todo el intervalo.
Reunir integrales conocidas
Sabes ∫₀²f=3 y ∫₂⁵f=−1. Calcula ∫₅⁰2f.
Juntar tramos
∫₀⁵f=3−1=2.Escalar
∫₀⁵2f=4.Invertir
∫₅⁰2f=−4.
Resultado −4.
El extremo cinco a cero invierte la orientación; no hace falta que f tenga signo fijo.
Acotar sin primitiva
En [1,4], una función continua satisface 2≤f(x)≤5. ¿Qué sabes de su integral?
Longitud
4−1=3.Rectángulo inferior
2·3=6.Superior
5·3=15.
6≤∫₁⁴f≤15.
No sabemos el valor exacto, pero una respuesta como veinte violaría las cotas dadas.
4. Una primitiva es una función; una integral definida es un número
En un intervalo, dos primitivas difieren en una constante, porque su diferencia tiene derivada cero y el teorema del valor medio obliga a que sea constante.
La integral definida ∫ₐᵇf es un número. No añadimos una constante arbitraria a ese número. El vínculo con G(b)−G(a) lo dará el teorema fundamental. Si el dominio está desconectado, puede haber una constante diferente en cada intervalo componente.
Proponer y verificar una primitiva
Encuentra las primitivas de 2x+3 en ℝ.
Por partes
x² deriva a 2x y 3x deriva a tres.
Familia
G(x)=x²+3x+C.Comprobar
G′=2x+3 para cualquier C real.
Todas difieren en una constante en ℝ.
No multiplicamos por la constante de integración: se suma porque su derivada es cero.
Dos lados separados por un punto excluido
Describe primitivas de 1/x en ℝ∖{0}.
Fórmula en cada lado
ln|x| tiene derivada 1/x si x≠0.Constantes independientes
Podemos tomar ln x+C₊ en x>0 y ln(−x)+C₋ en x<0.Justificación
No hay un intervalo del dominio que conecte ambos lados a través de cero; el valor medio no fuerza C₊=C₋.
Una constante por componente del dominio.
La regla de una sola constante vale en un intervalo; declarar el dominio evita extenderla indebidamente.
5. Derivar una acumulación recupera la tasa cuando hay continuidad
El cambio F(x+h)−F(x) es la integral del tramo nuevo de x a x+h. Dividir por h produce el promedio orientado de f en ese tramo. Por continuidad, ese promedio se acerca a f(x).
La letra t dentro de la integral es una variable de integración, no el extremo x. El teorema no afirma que F(x)=f(x); afirma una igualdad entre la derivada de F y el integrando evaluado en el extremo. En un salto de f, esa conclusión puede fallar.
Leer valor inicial y derivada
Sea F(x)=∫₁ˣ(t²+1)dt. Halla F(1) y F′(x).
Mismos extremos
F(1)=0.Continuidad
t²+1 es continua en todo ℝ.
Teorema
F′(x)=x²+1, sin necesidad de hallar primero la primitiva.
Valor inicial cero; derivada x²+1.
La función F no es x²+1: al evaluar F(1) obtenemos cero, no dos.
Una tasa con salto
Sea f(t)=1 si t<0 y f(t)=2 si t≥0. Para F(x)=∫₀ˣf, estudia cero.
Acumular por lado
F(x)=x si x<0 y F(x)=2x si x≥0.Cocientes laterales
La pendiente izquierda es uno y la derecha dos.
Resultado
F es continua pero no derivable en cero.
La igualdad F′(0)=f(0) no se puede concluir aquí.
La falta de continuidad del integrando en ese punto impide aplicar la hipótesis suficiente del teorema.
6. Evaluar una primitiva resta extremo superior menos inferior
La función acumulación F y G tienen la misma derivada; su diferencia es constante, y esa constante se cancela al restar.
Evaluamos G, no el integrando f. Los paréntesis conservan la resta completa, incluso si G(a) es negativo. El teorema convierte una acumulación en una variación exacta, bajo sus hipótesis.
Una primitiva y dos extremos
Calcula ∫₋₁²(2x+1)dx.
Primitiva
G=x²+x, porque G′=2x+1.Extremo superior
G(2)=4+2=6.Inferior y resta
G(−1)=1−1=0; integral 6−0=6.
Resultado exacto seis.
El integrando cambia de signo: seis es acumulación neta, no se ha pedido sumar todas las áreas geométricas.
Una acumulación con orientación inversa
Calcula ∫₃¹2x dx.
Primitiva
G=x².Orden dado
G(1)−G(3)=1−9.Interpretar
La orientación va de tres a uno y da menos ocho.
Resultado −8.
El integrando es positivo entre uno y tres, pero los extremos están invertidos. No hay contradicción.
7. Cuando un extremo se mueve, usamos también la regla de la cadena
El factor interior mide cómo se desplaza el extremo.
Con dos extremos variables, H(x)=F(v(x))−F(u(x)), así que H′=f(v)v′−f(u)u′. La orientación ya permite que v(x)<u(x); no reordenamos extremos sin conservar su signo. Aquí el integrando depende de t, no adicionalmente del parámetro x.
Un extremo que cambia al doble de velocidad
Deriva H(x)=∫₀^(2x)(1+t²)dt.
Acumulación exterior
F′(u)=1+u².Interior
g(x)=2x; g′=2.Cadena
H′(x)=[1+(2x)²]·2=2+8x².
Derivada 2+8x².
Poner solo 1+4x² olvidaría el cambio del extremo.
Dos extremos variables
Deriva J(x)=∫ₓ^(x²)cos t dt.
Parte superior
cos(x²)·2x.
Parte inferior
Restamos cos x·1.
Unir
J′(x)=2x cos(x²)−cos x.
La derivada conserva la resta del extremo inferior.
También podemos verificar J(x)=sin(x²)−sin x, cuya derivada coincide.
8. Sustitución y partes invierten reglas de derivación
La sustitución reconoce una composición acompañada por la derivada de su interior. En una integral definida cambiamos también los extremos a la variable nueva. La identidad se justifica por la cadena; no estamos sustituyendo letras de manera independiente.
Elegimos las partes para que la integral restante sea más sencilla. En ambos métodos revisamos que no haya una singularidad o un intervalo infinito que exija límites adicionales.
Cambiar variable y extremos juntos
Calcula ∫₀¹2x cos(x²)dx.
Interior
u=x² y du=2x dx.Extremos
x=0 da u=0; x=1 da u=1.Evaluar
∫₀¹cos u du=sin1−sin0=sin1, en radianes.
Resultado sin1.
La pareja cos(x²) y 2x permite la sustitución; no se reemplaza cos(x²) por cos x.
Integración por partes
Calcula ∫₀¹x eˣ dx.
Elegir
u=x, v′=eˣ, de modo que u′=1 y v=eˣ.Partes
[xeˣ]₀¹−∫₀¹eˣdx=e−(e−1).Restar completo
Queda uno.
La integral vale uno.
Derivar (x−1)eˣ recupera xeˣ y ofrece otra comprobación.
9. Existir una primitiva no obliga a que tenga una fórmula elemental
Toda función continua tiene una primitiva por acumulación. Algunas no se expresan con una combinación finita de las funciones elementales habituales. Por ejemplo, F(x)=∫₀ˣe^(−t²)dt está bien definida y satisface F′(x)=e^(−x²), aunque no haya una primitiva elemental.
Para comprobar un resultado revisamos continuidad o integrabilidad, derivada de la primitiva, orientación, signo y unidades. Si queremos una aproximación numérica en lugar de una expresión exacta, también necesitamos estudiar el error del método elegido.
Una función válida sin buscar fórmula cerrada
Para F(x)=∫₀ˣe^(−t²)dt, halla F(0), F′(x) y el signo de F(1).
Valor inicial
F(0)=0.Derivada
La continuidad da F′(x)=e^(−x²).Signo
En [0,1] el integrando es estrictamente positivo, así que F(1)>0.
Las tres preguntas se resuelven sin una primitiva elemental.
No encontrar una fórmula conocida no significa que la integral o su derivada no existan.
Detectar un resultado imposible
Alguien calcula ∫₀¹(1+x²)dx=−4/3. Compruébalo.
Cota inmediata
1≤1+x²≤2 en el intervalo, así que la integral debe estar entre uno y dos.
Primitiva
G=x+x³/3.Orden correcto
G(1)−G(0)=1+1/3=4/3.
El signo negativo venía de un error; el valor es 4/3.
La interpretación detectó el fallo antes de repetir toda la cuenta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una acumulación exacta
Calcula ∫₀²3x² dx.
Hipótesis
3x² es continua en [0,2], así que aplicamos el teorema fundamental.
Primitiva
G(x)=x³; su derivada es 3x².Evaluar G
G(2)=8 y G(0)=0.Restar
∫₀²3x²dx=G(2)−G(0)=8.Comprobar
La función es no negativa y la orientación creciente: el signo positivo es coherente. No añadimos constante a la integral definida.
La integral vale 8.
La función es no negativa en [0,2], así que la integral también.
EJEMPLO RESUELTO 2
Límite superior variable
Deriva H(x)=∫₁^(x²)e^t dt.
Separar etapas
F(u)=∫₁ᵘeᵗdt; entonces H(x)=F(x²).Teorema fundamental
La exponencial es continua en ℝ y F′(u)=eᵘ.Cambio interior
g(x)=x² tiene derivada 2x.Cadena
H′(x)=F′(x²)·2x=2xe^(x²).Otra comprobación
H(x)=e^(x²)−e; derivar esta expresión da el mismo resultado, también cuando x²<1 y la integral tiene orientación inversa.
H′(x)=2x e^(x²).
También H(x)=e^(x²)−e y su derivada coincide.
Los símbolos que hemos usado
- ∫ₐᵇ f(x) dx
- Acumulación con signo de f entre a y b; x es una variable auxiliar.
- Partición
- División del intervalo en subintervalos con extremos ordenados.
- Δxᵢ
- Anchura positiva del subintervalo i cuando a<b.
- Primitiva de f
- Función G cuya derivada es f en el intervalo considerado.
- F(x)=∫ₐˣ f(t)dt
- Función que acumula desde el extremo fijo a hasta una entrada variable x.
- Integral indefinida
- Familia de primitivas G+C; no es el número de una integral definida.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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