EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Integra f=1 en la circunferencia unidad con ds.
- PISTA 1
Una pista
Es su longitud.
Un desarrollo posible.
Parametrizamos la circunferencia por(cos t, sin t) con 0≤t≤2π.
La rapidez es√(sin²t+cos²t)=1.
La integral escalar de 1 es ∫₀^(2π)1 dt=2π, su longitud.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
F=∇(x²+y²). Trabajo de (0,0) a (1,2).
- PISTA 1
Una pista
Evalúa el potencial en extremos.
Un desarrollo posible.
El campo ya se declara gradiente del potencial U=x²+y².
El trabajo es U(1,2)−U(0,0).
1+4−0=5, independiente del recorrido permitido.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Área del rectángulo X(u,v)=(2u,3v,0), 0≤u,v≤1.
- PISTA 1
Una pista
Calcula la norma del producto vectorial.
Un desarrollo posible.
Su producto vectorial es(0,0,6), con magnitud6.
Integrar ese factor en el cuadrado unitario de parámetros da área6.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Explica el efecto de recorrer una curva al revés sobre ∫f ds y ∫F·dr.
- PISTA 1
Una pista
La norma borra un signo, el vector velocidad no.
Un desarrollo posible.
Al invertir la curva, la magnitud de su velocidad sigue midiendo la misma longitud.
Por ello∫f ds conserva el valor al recorrerla una vez en sentido contrario.
En∫F·dr cambia el vector tangente orientado y el trabajo cambia de signo.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Calcula ∫_γ(x dx+y dy) por cualquier curva de (1,0) a (0,2).
- PISTA 1
Una pista
Reconoce una diferencial exacta.
Un desarrollo posible.
La expresión x dx+y dy es la diferencial de U=(x²+y²)/2 en todo el plano.
Aplicamos el teorema fundamental de integrales de línea: U(0,2)−U(1,0).
2−1/2=3/2, para cualquier curva regular por tramos con esos extremos.