Integrales de línea y de superficie

Una curva γ:[a,b]→ℝⁿ asigna un punto a cada parámetro. Su derivada γ′ es la velocidad y ‖γ′‖ la rapidez. Trabajaremos con curvas regulares por tramos: velocidad continua y no nula en cada tramo, con esquinas que se pueden separar.

La traza es el conjunto dibujado; el recorrido incluye sentido y multiplicidad. Recorrer dos veces un círculo no es la misma integral de recorrido que recorrerlo una vez. Cambiar la rapidez mediante una reparametrización regular no cambia la traza ni tiene por qué cambiar su acumulación geométrica.

El factor de rapidez transforma dt en longitud. Con λ=1 obtenemos longitud; con kg/m obtenemos masa.

La orientación no cambia esta cantidad porque usamos una magnitud de velocidad. Puede haber integrandos escalares con signos; el elemento ds sigue siendo positivo. Si contamos varias vueltas, la acumulación del recorrido también cuenta esa multiplicidad.

El producto escalar conserva la componente que empuja en el sentido de avance.

Al invertir el recorrido, γ′ cambia de signo y el trabajo se niega. Si el campo es perpendicular al avance, su contribución es cero. Sustituir γ′ por ‖γ′‖ eliminaría la dirección y no sería la misma integral.

Integrar produce U(final)−U(inicial). El camino deja de importar entre esos extremos si permanece en el dominio del potencial.

Sobre un recorrido cerrado la diferencia es cero. Rotacional nulo no garantiza un potencial global sin condiciones sobre el dominio; un agujero puede impedirlo. Un dominio simplemente conexo, junto con las condiciones usuales de regularidad, es una hipótesis suficiente habitual.

Una aplicación X(u,v) de una región plana a ℝ³ describe una superficie. Sus parciales Xᵤ y Xᵥ dan dos tangentes. Si Xᵤ×Xᵥ≠0, forman una celda regular con área aproximada ‖Xᵤ×Xᵥ‖du dv.

No tomamos un determinante de una matriz 3×2: el área se obtiene con la norma del producto vectorial de sus dos columnas. El orden de ese producto selecciona una normal; su magnitud conserva el área aunque invirtamos el orden.

Con λ=1 obtenemos área; con densidad superficial no negativa, masa. El lado elegido como normal no cambia este cálculo.

La parametrización debe cubrir la superficie con la multiplicidad prevista. A veces se necesitan varias cartas; no sumamos regiones solapadas dos veces sin corregirlo. Para ejemplos sencillos usaremos un solo parche o fronteras de área cero justificadas.

El flujo es ∫∫_SF·n dS con n unitaria y coherentemente elegida. En parámetros, n dS se combina como (Xᵤ×Xᵥ)du dv, o su negativo según la orientación. No añadimos de nuevo su norma: ya está incluida en ese vector.

Una superficie cerrada suele orientarse hacia fuera; una abierta necesita una indicación como hacia arriba. Invertir la normal niega el flujo, mientras el área escalar permanece igual. Para esta fórmula global se necesita una superficie orientable o una elección de parches con las decisiones pertinentes.

Para una reparametrización regular de una curva, el factor de rapidez compensa el cambio de variable. En el trabajo, la velocidad vectorial incorpora además el sentido. En una superficie, la norma del producto vectorial compensa el factor de área y conserva la integral escalar.

Intercambiar u y v invierte el producto vectorial. Conserva área y masa, pero niega flujo si mantenemos ese nuevo vector sin corregir la orientación. Tampoco cambiar la rapidez de recorrido altera el trabajo de un campo fijo por el mismo camino orientado.

Densidad sobre cable usa λ‖γ′‖; trabajo usa F·γ′; densidad sobre lámina usa λ‖Xᵤ×Xᵥ‖; flujo usa F·(Xᵤ×Xᵥ) con el signo de orientación correcto. Escribimos dominio y sentido antes del producto.

Una longitud o un área de densidad uno debe ser no negativa. Trabajo y flujo pueden tener cualquiera de los signos. También comprobamos unidades y multiplicidad; si hay un potencial, ofrece una revisión independiente del trabajo.