Una integral doble suma contribuciones repartidas por una región del plano. Antes de integrar aprenderemos a leer esa región con cortes. Después cambiaremos de coordenadas para simplificarla, teniendo en cuenta que las nuevas celdas pueden representar áreas diferentes.
Si necesitas repasar:
1. La contribución es valor por área; en tres dimensiones, por volumen
Dividimos una región en piezas pequeñas de área ΔAᵢ y sumamos f(pᵢ)ΔAᵢ. Bajo condiciones regulares, al refinar obtenemos la integral doble. Si f es una densidad no negativa en kg/m², multiplicar por m² aporta kg. En el espacio usamos celdas de volumen y densidades por m³.
Integrar uno da el área o volumen de la región. Si el integrando cambia de signo, el resultado es acumulación con signo. No lo llamamos masa física ni volumen geométrico sin revisar qué representa la función.
Una densidad en una lámina rectangular
En 0≤x≤2, 0≤y≤1, una densidad es ρ=2+x kg/m². ¿Qué suman dos celdas de anchura uno usando sus centros?
Áreas
Cada celda tiene área 1 m².
Densidades centrales
En x=1/2 y x=3/2 valen 2,5 y 3,5 kg/m².Contribuciones
2,5·1+3,5·1=6 kg.Aquí coincide con la integral exacta porque la densidad es afín y las celdas son rectangulares.
La suma aporta seis kilogramos.
En un integrando general, una suma finita de puntos centrales sería una aproximación que requiere controlar error.
El mismo símbolo, cantidades distintas
En un rectángulo de lados dos y tres, compara integrar 1, 4 y −4.
Área
∫∫1=2·3=6.Constante positiva
∫∫4=24: sería masa si cuatro fuese una densidad con las unidades correspondientes.
Constante negativa
∫∫(−4)=−24: acumulación con signo, no área negativa.
La región es la misma; cambia la cantidad que acumulamos.
El elemento de área no cambia de signo al cambiar el integrando.
2. En un rectángulo, una integral interior mantiene fija la otra coordenada
Si f es continua en [a,b]×[c,d], Fubini permite ∫ₐᵇ[∫꜀ᵈf(x,y)dy]dx y también el orden inverso. Primero integramos con una variable y tratamos la otra como parámetro; el resultado interior será una función de ese parámetro.
Cuando f=g(x)h(y) y los límites forman un rectángulo, podemos separar como (∫g)(∫h). Esa separación no vale automáticamente con límites que acoplen las variables. También conservamos qué extremos corresponden a cada coordenada.
Integrar primero y
Calcula ∫₀²∫₀¹(x+2y)dy dx.
Interior
x es constante: [xy+y²]₀¹=x+1.Exterior
∫₀²(x+1)dx=[x²/2+x]₀²=4.Comprobar al revés
∫₀²(x+2y)dx=2+4y; integrar de cero a uno también da cuatro.
La integral doble vale cuatro.
No sustituimos x en los límites de y: son entradas diferentes.
Un producto separable
Integra xy sobre [0,2]×[0,3].
Región rectangular
Las dos coordenadas recorren intervalos independientes.
Integrales
∫₀²x dx=2; ∫₀³y dy=9/2.Producto
2·9/2=9.
La integral vale nueve.
Si el extremo de y dependiera de x, esta separación sin más no describiría la misma región.
3. Para una región no rectangular, dibujamos sus cortes antes de calcular
Una región a≤x≤b, g₁(x)≤y≤g₂(x) se recorre con segmentos verticales: fijamos x, subimos desde g₁(x) hasta g₂(x), y luego movemos x. La fórmula de la integral es ∫ₐᵇ∫_(g₁(x))^(g₂(x))f dy dx.
Si una frontera cambia de papel, puede hacer falta dividir en tramos. Los límites no son un adorno de la cuenta: determinan qué puntos se suman. La figura muestra el triángulo 0≤y≤x≤2, con un corte vertical y otro horizontal.
Sumar alturas sobre el triángulo
Calcula ∫∫_D y dA para D: 0≤y≤x≤2.
Corte vertical
x va de cero a dos; para cada x, y va de cero a x.
Interior
∫₀ˣy dy=x²/2.Exterior
∫₀²x²/2 dx=[x³/6]₀²=4/3.
La integral es 4/3.
El área del triángulo es dos; la integral de y pondera más las zonas de altura mayor.
Una frontera curva
Halla el área de 0≤x≤1, 0≤y≤x².
Integrando de área
Tomamos f=1.Corte
La longitud vertical es x²−0=x².Integral
∫₀¹x²dx=1/3.
Área 1/3.
Integrar hasta y=x en lugar de x² sumaría un triángulo diferente, de área 1/2.
4. Cambiar el orden exige describir otra vez la misma región
En 0≤y≤x≤2, el corte horizontal fija y entre cero y dos y recorre x desde y hasta dos. No basta intercambiar dx y dy manteniendo los extremos: eso puede crear otra región.
Para funciones continuas en regiones compactas regulares, el cambio de orden está justificado. En el marco medible más general, integrabilidad absoluta permite Fubini; para funciones no negativas, Tonelli permite integrar incluso con resultado infinito. Con singularidades y signos no se cambia el orden sin revisar condiciones.
Rehacer el triángulo en horizontal
Calcula la integral de y sobre 0≤y≤x≤2 con el orden inverso.
Límites
0≤y≤2 y y≤x≤2.Interior
∫ᵧ²y dx=y(2−y).Exterior
∫₀²(2y−y²)dy=[y²−y³/3]₀²=4−8/3=4/3.
Coincide con el orden vertical.
La y se mantuvo constante durante la integración en x.
Entre una parábola y una recta
Reescribe la región 0≤x≤1, x²≤y≤x con cortes horizontales y calcula su área.
Despejar condiciones
y≤x y x²≤y implican y≤x≤√y, porque x≥0.Rango exterior
0≤y≤1.Área
∫₀¹(√y−y)dy=2/3−1/2=1/6.
Los límites inversos son x de y a √y.
También ∫₀¹(x−x²)dx=1/6; ambas descripciones cubren la misma lente.
5. El jacobiano corrige el área que representa cada celda de parámetros
Una transformación F(u,v) lleva una región de parámetros a la región del plano. Su diferencial aproxima celdas pequeñas por paralelogramos. |det DF| es el factor local de área. Omitirlo equivale a contar todas las celdas como si conservaran su tamaño.
La orientación se invierte y el área se duplica. Para integrar una cantidad geométrica usamos el factor dos, que es positivo; el integrando puede conservar su propio signo.
Comprobar el factor integrando uno
El cuadrado 0≤u,v≤1 se transforma por F(u,v)=(2u+v,−v). Halla el área imagen.
Regularidad
F es lineal invertible y su determinante es −2.
Integral transformada
∫₀¹∫₀¹1·2 dv du.
Valor
Dos, igual al área del paralelogramo.
El área es dos.
Usar el determinante sin valor absoluto daría menos dos y no sería un área geométrica.
Cambiar también el integrando
Integra f(x,y)=x−y sobre ese paralelogramo.
Composición
x−y=(2u+v)−(−v)=2u+2v.Factor de área
La integral en el cuadrado es ∫∫(2u+2v)·2 du dv.
Evaluar
El promedio de 2u+2v en el cuadrado es dos; por el factor de área queda cuatro.
La integral vale cuatro.
Cambiar solo dxdy por dudv sin componer f ni corregir área perdería dos partes esenciales.
6. Un cambio correcto transforma dominio, integrando y área, con control de multiplicidad
Una hipótesis suficiente es que F sea un difeomorfismo C¹ entre abiertos apropiados, con determinante no nulo.
En regiones usuales con fronteras de área cero se justifican esas fronteras por separado.
Un determinante no nulo solo garantiza regularidad local. Si F recorre dos veces la misma región, la integral de parámetros la contará dos veces. Comprobamos una representación adecuada o tratamos explícitamente esa multiplicidad.
Una banda entre parábolas
Usa F(u,v)=(u,v+u²), 0≤u,v≤1, para integrar y sobre su imagen.
Dominio imagen
0≤x≤1 y x²≤y≤x²+1.La inversa es u=x, v=y−x².Jacobiano
DF=[[1,0],[2u,1]], determinante uno.Calcular
∫₀¹∫₀¹(v+u²)dv du=1/2+1/3=5/6.
La integral es 5/6.
El cambio desplaza verticalmente cada columna; el área se conserva aunque la región deje de ser rectangular.
Dos vueltas cuentan dos veces
Para el disco unidad, ¿qué ocurre si en polares dejamos 0≤θ≤4π?
Repetición
Cada punto no nulo se recorre dos veces, salvo fronteras identificadas.
Integral de uno
∫₀^(4π)∫₀¹r dr dθ=4π·1/2=2π.Área real
El disco tiene área π; el doble proviene de la multiplicidad.
Una sola vuelta angular es la elección adecuada para el disco.
El factor r puede ser correcto y aun así el dominio de parámetros contar mal la región.
7. En polares, una celda de ángulo se ensancha al alejarse del origen
Una celda radial de grosor Δr y apertura Δθ tiene área exacta rΔrΔθ+(Δr)²Δθ/2.
En un disco de radio R usamos r entre cero y R y una sola vuelta angular. El origen y el corte angular no forman una biyección regular en el rectángulo cerrado entero; son excepciones de área cero que se tratan en la justificación. No se extiende esa excepción a mapas arbitrarios con repetición sobre áreas enteras.
Un anillo
Halla el área de 1≤x²+y²≤4.
Radios
La distancia r va de uno a dos, no de uno a cuatro.
Integral
∫₀^(2π)∫₁²r dr dθ.
Resultado
2π·(4−1)/2=3π.
Área 3π.
Coincide con la diferencia de discos de radios dos y uno.
Una densidad radial en un disco mayor
Integra x²+y² sobre el disco de radio dos.
Integrando
x²+y²=r².Área
Multiplicar por r da r³; límites 0≤r≤2 y una vuelta.Calcular
2π∫₀²r³dr=2π·4=8π.
La integral vale 8π y el promedio de r² es dos.
El disco tiene área 4π; el promedio dos queda entre cero y el máximo cuatro.
8. En el espacio, declaramos las coordenadas antes de usar su factor de volumen
En esféricas escogeremos x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ: φ mide desde el eje z positivo y va de cero a π; θ recorre una vuelta.
Cambiar la definición del ángulo puede cambiar seno por coseno, así que no usamos una fórmula de memoria sin declarar qué ángulo representa.
Volumen de una bola
Calcula el volumen de la bola de radio dos con esféricas.
Límites
ρ de cero a dos, φ de cero a π y θ de cero a 2π.
Factores
∫₀²ρ²dρ=8/3; ∫₀^πsinφ dφ=2; ∫₀^(2π)dθ=2π.Multiplicar
(8/3)·2·2π=32π/3.
Volumen 32π/3, coherente con 4πR³/3.
Sin el factor ρ²sinφ no estaríamos midiendo volumen en el espacio.
Un cilindro y su altura
Halla el volumen de x²+y²≤1, 0≤z≤3.
Cilíndricas
r de cero a uno, θ una vuelta, z de cero a tres.
Integral
∫₀³∫₀^(2π)∫₀¹r dr dθ dz.
Resultado
3·2π·1/2=3π.
Volumen 3π, área de base π por altura tres.
La coordenada z no cambia de escala; el factor radial proviene solo del cambio en x,y.
9. Geometría, signo y unidades permiten comprobar el resultado
Integrar uno debe recuperar su área; una densidad no negativa debe producir masa no negativa.
En una verificación revisamos también el dominio transformado, los extremos, el jacobiano y la multiplicidad. Las comprobaciones no reemplazan las hipótesis de Fubini o cambio de variable, pero detectan con rapidez regiones incorrectas y factores omitidos.
Una cota antes de calcular
En el disco unidad, 2≤ρ(x,y)≤5 kg/m². ¿Entre qué valores queda la masa?
Área
π m².
Densidad mínima
Masa al menos 2π kg.
Máxima
Masa como mucho 5π kg.
La masa pertenece a [2π,5π] kg.
Una respuesta menor que cero o mayor que 5π requeriría revisar el cálculo antes de aceptarla.
Detectar la ausencia del factor radial
Alguien integra uno en el disco unidad como ∫₀^(2π)∫₀¹1 dr dθ y obtiene 2π.
Comparación geométrica
El área conocida es π; el resultado duplica ese valor.
Causa
Falta el factor r del elemento de área.
Corregir
∫₀^(2π)∫₀¹r dr dθ=π.
La revisión de área identifica el factor perdido.
Usar límites correctos no basta si las celdas de parámetros tienen una escala geométrica diferente.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un triángulo
Integra f(x,y)=1 sobre 0≤x≤1, 0≤y≤1−x.
Región
0≤x≤1, 0≤y≤1−x describe un triángulo bajo y=1−x.Cantidad
Integrar uno calcula su área.
Corte vertical
∫₀¹[∫₀^(1−x)1 dy]dx.
Interior
Para x fija, ∫₀^(1−x)1dy=1−x.Exterior
∫₀¹(1−x)dx=[x−x²/2]₀¹=1/2.Comprobación
Base uno por altura uno dividido entre dos también da 1/2.
El área es 1/2.
Coincide con base por altura dividido entre dos.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un disco
Calcula ∫∫_D(x²+y²)dA para el disco unitario.
Simetría y dominio
En el disco unidad, polares tienen 0≤r≤1 y una vuelta angular.
Integrando
x²+y²=r².Elemento de área
dA=r dr dθ, así que el integrando completo es r³.Integral radial
∫₀¹r³dr=1/4.Angular
∫₀^(2π)dθ=2π; resultado π/2.Revisión
Dividir por el área π da promedio 1/2, entre cero y uno como exige 0≤r²≤1. El origen y el corte angular se justifican como fronteras de área cero.
La integral vale π/2.
El valor medio de r² en el disco es (π/2)/π=1/2.
Los símbolos que hemos usado
- D / dA / dV
- Región de integración / elemento de área / elemento de volumen.
- Integral iterada
- Integrales sucesivas de una variable que representan una acumulación multidimensional bajo condiciones adecuadas.
- Región simple
- Se describe con una coordenada entre constantes y otra entre funciones de ella.
- F(u,v)
- Cambio de coordenadas que lleva un dominio de parámetros a una región del plano.
- |det DF|
- Factor positivo de área o volumen en un cambio regular de igual dimensión.
- r,θ / ρ,φ,θ
- Polares planas / esféricas, usando φ como ángulo desde el eje z positivo.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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