Teoremas de la función inversa e implícita

No podemos elegir una salida única sin indicar una rama. Cerca de (0,1), la altura negativa queda lejos: una vecindad pequeña selecciona la rama superior.

El teorema implícito no exige encontrar una fórmula elemental. Garantiza que ciertas soluciones cercanas forman una función C¹: una función con primeras parciales continuas. Primero comprobaremos punto, variables elegidas y una derivada o bloque invertible.

Si det DF(a)≠0, existen abiertos V alrededor de a y W alrededor de F(a) tales que F:V→W es biyectiva y su inversa es C¹. El espacio de entrada y salida tiene la misma dimensión.

La conclusión contiene existencia, unicidad dentro de esas zonas y regularidad de la inversa. La inyectividad global o que el dominio original se cubra con una sola rama necesitan argumentos adicionales. No se elimina C¹ porque una matriz calculada en un punto parezca correcta.

Un punto fijo de T_w es exactamente una solución. Su derivada es I−A⁻¹DF(x), que vale cero en a y, por continuidad, puede hacerse pequeña en una bola.

Podemos elegir una bola cerrada de radio r dentro del dominio donde T_w tenga constante de contracción ≤1/2.

El teorema de contracción da un punto fijo único. Esta es la idea de la prueba de existencia y unicidad; la regularidad de la inversa se obtiene controlando después sus incrementos.

El punto de entrada de G es F(a), no a salvo coincidencia.

Eso no significa que la inversa de una función sea 1/f(x): inversa funcional, inversa matricial y recíproco de un número son conceptos que aparecen en lugares diferentes de la fórmula.

Sin embargo y y y+2π dan la misma salida. Hay inversas locales al escoger una rama angular, pero no una inversa global sobre todo el plano de entrada.

Si el determinante se anula, este teorema suficiente deja de decidir. Puede existir una inversa continua sin ser C¹. También podría no haber inyectividad alguna. No interpretamos una hipótesis fallida como una recíproca automática.

Si H es C¹ en un abierto, H(a,b)=0 y el bloque cuadrado DᵧH(a,b) es invertible, las soluciones cercanas se expresan de forma única como y=φ(x), con φ C¹ y φ(a)=b.

Hay tantas ecuaciones como variables dependientes en el bloque invertible. Mirar otro bloque puede permitir otro despeje, pero no el que pedimos. El punto debe ser una solución antes de comprobar la matriz.

Multiplicamos por la izquierda por el inverso del bloque: Dφ=−(DᵧH)⁻¹DₓH. Cada matriz se evalúa sobre la rama, no en un punto desconectado de ella.

En una ecuación escalar con x,y reales, la fórmula es y′=−Hₓ/Hᵧ. El signo menos aparece al trasladar Hₓ al otro lado. La división solo se usa donde Hᵧ no se anula, como garantiza localmente el teorema por continuidad.

En (1,0), Hᵧ=0 y no obtenemos esa garantía, pero Hₓ=2 permite despejar x como función de y. El nivel sigue siendo una curva regular: solo cambió la coordenada útil.

Cerca de (1,0), una misma x ligeramente menor que uno tiene dos valores de y pequeños, de signos opuestos. Por eso ni siquiera hay una única función y(x) que describa todas las soluciones cercanas.

Revisamos dominio abierto, regularidad, punto solución, bloque elegido y alcance local. Al escribir la respuesta identificamos qué variables son parámetros, cuáles se despejan y en qué punto se calcula la derivada.

Si podemos despejar globalmente y comprobar ambas composiciones, esa prueba adicional permite una conclusión global. Si un bloque es singular, examinamos la relación por otros medios: puede haber muchas ramas, una rama singular o incluso una rama suave que el criterio suficiente no detecta.