F(x,y)=(x+y,x−y). Calcula det DF.
Forma la matriz de parciales.
Las filas de DF son(1,1) y(1,−1).
El determinante es 1×(−1)−1×1.
Resulta−2; el factor geométrico de área sería su magnitud2.
f(x,y)=xy y γ(t)=(t,t²). Calcula (f∘γ)′(2).
La composición es t³.
Su derivada es 3t².
En 2 vale 12. La cadena matricial produce el mismo resultado.
F:R³→R². ¿Cuántas entradas tiene DF?
Filas por salidas, columnas por entradas.
La aplicación tiene dos componentes de salida y tres entradas.
DF tiene 2 filas y3 columnas.
Hay2×3=6 entradas; no se calcula un determinante de esta matriz rectangular.
Obtén el jacobiano de coordenadas polares F(r,θ)=(r cosθ,r sinθ).
Deriva por columnas y calcula el determinante.
Derivar por r da la columna(cos θ, sin θ); por θ, la columna(−r sin θ, r cos θ).
El determinante es r cos²θ+r sin²θ.
Usando cos²θ+sin²θ=1 obtenemos r; para área se emplea |r| y en polares usuales r≥0.
Deriva f(r cosθ,r sinθ) con respecto a r.
Mantén θ fijo al aplicar la cadena.
La cadena suma las aportaciones de las dos entradas.
El resultado es fₓ(r cos θ, r sin θ) cos θ+fᵧ(r cos θ, r sin θ) sin θ.