Regla de la cadena y jacobiano

La matriz del diferencial aplica un incremento de entrada y predice un cambio de salida. La columna j contiene las tasas de todas las salidas al mover solo la entrada j.

Las parciales dan una matriz candidata. Para usarla como diferencial necesitamos diferenciabilidad, por ejemplo porque F sea C¹ en un entorno. Una matriz de parciales aisladas no garantiza por sí sola una aproximación válida en todas las direcciones.

Multiplicamos por un incremento columna de n entradas y obtenemos m cambios de salida. Para una función escalar, DF es una fila; el gradiente puede escribirse como columna, y el producto se interpreta como producto escalar.

Una matriz rectangular tiene diferencial perfectamente válido, pero no un determinante ordinario. No llamamos jacobiano determinante a cualquier matriz de parciales: distinguiremos matriz jacobiana y, si es cuadrada, su determinante.

Primero actúa DG sobre el incremento y después DF sobre ese resultado. Por eso la matriz que actúa primero se escribe a la derecha.

Evaluar DF en (1,2) sería otra cuenta. Las dimensiones (m×n)(n×p) producen m×p, como exige la composición.

Es el producto del gradiente con la velocidad. No normalizamos la velocidad si se pregunta cambio por unidad de t.

La parcial fₓ sola solo serviría si y estuviera fija y x cambiara a velocidad uno. Cada término de la cadena representa un camino por el que cambia la salida. Así detectamos factores o sumandos olvidados.

Las parciales de f se evalúan en (r cosθ,r sinθ). Los factores de r de la segunda fórmula son velocidades de las coordenadas al cambiar el ángulo, medido en radianes. No son factores opcionales de una notación nueva.

Para una transformación lineal del plano, las columnas son los lados de la imagen del cuadrado unidad. El determinante mide su área orientada; su valor absoluto es el área geométrica. Un valor negativo invierte la orientación, no convierte un área en negativa.

Si la transformación es no lineal, el determinante de DF describe una escala local. Si vale cero, el diferencial aplasta alguna dirección y no es invertible como mapa lineal de igual dimensión. No equivale a decir que la función no sea diferenciable.

La matriz de P(r,θ)=(r cosθ,r sinθ) tiene filas (cosθ,−r sinθ) y (sinθ,r cosθ).

Para r>0 da una transformación regular local y un factor de área r.

En r=0 todos los ángulos representan el mismo punto y la matriz pierde una dirección. Además θ y θ+2π siempre tienen la misma salida, aunque r>0. Para coordenadas únicas escogemos un intervalo angular adecuado y tratamos su corte; un jacobiano no nulo no elimina repeticiones globales.

Es consecuencia de la cadena matricial y de det(AB)=detA detB. Primero identificamos los puntos; luego tomamos los dos determinantes.

Si alguna etapa es rectangular, no usamos esa fórmula de determinantes, aunque la cadena de matrices siga siendo válida. Incluso una composición cuadrada puede pasar por un espacio de otra dimensión: hay que mirar cada tamaño antes de escribir determinantes de factores.

En ejemplos manejables podemos escribir F(G(a)) y derivar la fórmula resultante. Debe coincidir con DF(G(a))DG(a). Revisamos también dimensiones, punto, incremento y si la tasa se mide por parámetro o por distancia.

Para interpretar un determinante como factor geométrico local usamos su valor absoluto; para una fórmula global de cambio de área necesitaremos además condiciones sobre la región y la ausencia de multiplicidades. Esos requisitos se estudian al integrar en nuevas coordenadas.