Calcula div(x²,y²,z²) en (1,2,3).
Deriva cada componente respecto a su variable.
Derivamos cada componente respecto de su propia coordenada: div F=2x+2 y+2z.
Solo después sustituimos el punto(1,2,3).
Circulación de (−y,x) en un círculo de radio 2 antihorario.
El rotacional escalar sigue valiendo 2.
El sentido antihorario permite Green con signo positivo.
Flujo exterior de F=(x,0,0) en la frontera del cubo [0,1]³.
Aplica Gauss.
El campo F=(x,0,0) es C¹ y el cubo con su frontera completa permite Gauss.
Su divergencia es 1 y el volumen del cubo es 1.
Directamente, solo la cara x=1 aporta flujo no nulo.
Explica por qué el flujo total de un campo de divergencia cero a través de una superficie cerrada es cero.
Declara regularidad en el volumen encerrado.
Suponemos un volumen acotado con frontera por tramos suave, normal exterior y F de clase C¹ en un abierto que contiene todo el volumen y su frontera.
Gauss transforma el flujo total en la integral de div F sobre ese volumen.
Una singularidad interior impediría esta justificación; además, cero total no obliga a flujo cero por cada parte.
Usa Stokes para el borde del disco z=0 unitario y F=(−y/2,x/2,0), normal hacia arriba.
Calcula curl F.
Con normal hacia arriba, el borde del disco se recorre en sentido antihorario visto desde arriba. El campo es C¹ en todo el espacio.
Su producto con la normal(0,0,1) es 1.
Stokes da circulación igual a la integral de 1 sobre el disco unitario: su área π.